高考数学 8.2 直线的交点坐标与距离公式课件.ppt

第二节　直线的交点坐标与距离公式【知【知识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识 教材回扣　填一填教材回扣　填一填(1)(1)两直两直线的交点的交点. .唯一解唯一解无解无解有无数组解有无数组解(2)(2)三种距离三种距离. .①①两点两点间的距离的距离: :点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )之之间的距离的距离|P|P1 1P P2 2|=|=__________________.__________________.②②点到直点到直线的距离的距离: :点点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直到直线l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0的距离的距离d=____________.d=____________.③③两条平行两条平行线间的距离的距离: :两条平行两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0间的距离的距离d=________.d=________.2.2.必必备结论 教材提教材提炼　　记一一记(1)(1)点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )关于关于A(a,b)A(a,b)的的对称点称点为P′_____________.P′_____________.(2)(2)设点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )关于直关于直线y=kx+by=kx+b的的对称点称点为P′(x′,y′),P′(x′,y′),则有有 可求出可求出x′,y′.x′,y′.(2a-x(2a-x0 0,2b-y,2b-y0 0) )3.3.必用技法必用技法 核心核心总结　看一看　看一看(1)(1)常用方法常用方法: :代数法、待定系数法、参数法代数法、待定系数法、参数法. .(2)(2)数学思想数学思想: :方程思想、分方程思想、分类讨论思想、数形思想、数形结合思想、合思想、转化与化化与化归思想思想. .(3)(3)记忆口口诀: :点到直点到直线距离公式距离公式已知定点与直已知定点与直线, ,求距离做三件事求距离做三件事. .建立垂建立垂线的方程的方程, ,联立垂足可得知立垂足可得知. .两点坐两点坐标已确定已确定, ,距离公式去求距离公式去求值. .如此求解太如此求解太烦琐, ,一定要把公式一定要把公式记. .坐坐标代入代入线方程方程, ,加加绝对值当分子当分子. .系数平方和开方系数平方和开方, ,公式分母即公式分母即为此此. .【小【小题快快练】】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考　判一判静心思考　判一判(1)(1)若两直若两直线的方程的方程组成的方程成的方程组有解有解, ,则两直两直线相交相交.(.(　　　　) )(2)(2)点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直到直线y=kx+by=kx+b的距离的距离为 .( .(　　　　) )(3)(3)直直线外一点与直外一点与直线上一点的距离的最小上一点的距离的最小值就是点到直就是点到直线的距的距离离.(.(　　　　) )(4)(4)两平行两平行线间的距离是一条直的距离是一条直线上任一点到另一条直上任一点到另一条直线的距离的距离, ,也可也可以看做是两条直以看做是两条直线上各取一点的最短距离上各取一点的最短距离.(.(　　　　) )(5)(5)若点若点A,BA,B关于直关于直线l:y=kx+b(k≠0):y=kx+b(k≠0)对称称, ,则直直线ABAB的斜率等于的斜率等于- ,- ,且且线段段ABAB的中点在直的中点在直线l上上.(.(　　　　) )【解析】【解析】(1)(1)错误错误, ,当方程组有唯一解时两条直线相交当方程组有唯一解时两条直线相交, ,若方程组有无若方程组有无穷多个解穷多个解, ,则两条直线重合则两条直线重合. .(2)(2)错误错误, ,应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式, ,即即点点P P到直线的距离为到直线的距离为 . .(3)(3)正确正确, ,因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长, ,即点到直即点到直线的距离线的距离. .(4)(4)正确正确. .两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长, ,即两即两条直线上各取一点的最短距离条直线上各取一点的最短距离. .(5)(5)正确正确. .根据对称性可知直线根据对称性可知直线ABAB与直线与直线l垂直且直线垂直且直线l平分线段平分线段AB.AB.所所以直线以直线ABAB的斜率等于的斜率等于- ,- ,且线段且线段ABAB的中点在直线的中点在直线l上上. .答案答案: :(1)×(1)×　　(2)×(2)×　　(3)√(3)√　　(4)√(4)√　　(5)√(5)√2.2.教材改教材改编 链接教材　接教材　练一一练(1)((1)(必修必修2P110B2P110B组T1T1改改编) )直直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-22x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点交于一点, ,则a a的的值为　　　　　　　　. .【解析】【解析】解方程组解方程组所以直线所以直线2x-y=-102x-y=-10与与y=x+1y=x+1的交点坐标为的交点坐标为(-9,-8),(-9,-8),代入代入y=ax-2,y=ax-2,得得-8=a-8=a··(-9)-2,(-9)-2,所以所以a= .a= .答案答案: : (2)((2)(必修必修2P110B2P110B组组T4T4改编改编) )已知点已知点A(3,2)A(3,2)和和B(-1,4)B(-1,4)到直线到直线ax+y+1=0ax+y+1=0的距离相等，则的距离相等，则a a的值为的值为______.______.【解析】【解析】由点到直线的距离公式可知由点到直线的距离公式可知解得解得a=-4a=-4或或答案：答案：-4-4或或3.3.真题小试真题小试 感悟考题感悟考题 试一试试一试(1)(2015·(1)(2015·北京模拟北京模拟) )经过两条直线经过两条直线3x+4y-5=03x+4y-5=0和和3x-4y-13=03x-4y-13=0的交点，的交点，且斜率为且斜率为2 2的直线方程是的直线方程是( )( )A.2x+y-7=0 B.2x-y-7=0A.2x+y-7=0 B.2x-y-7=0C.2x+y+7=0 D.2x-y+7=0C.2x+y+7=0 D.2x-y+7=0【解析】【解析】选选B.B.由由所以交点坐标为所以交点坐标为(3,-1),(3,-1),故经过两条直线故经过两条直线3x+4y-5=03x+4y-5=0和和3x-4y-13=03x-4y-13=0的交点，且斜率为的交点，且斜率为2 2的直线方的直线方程是程是y+1=2(x-3),y+1=2(x-3),即即2x-y-7=0.2x-y-7=0.故选故选B.B.(2)(2013·(2)(2013·湖南高考湖南高考) )在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，中，AB=AC=4AB=AC=4，点，点P P是边是边ABAB上异于上异于A,BA,B的一点，光线从点的一点，光线从点P P出发，经出发，经BC,CABC,CA反射后又回到原点反射后又回到原点P(P(如如图图).).若光线若光线QRQR经过经过△ABC△ABC的重心，则的重心，则APAP等于等于( )( )A A．．2 2 B B．．1 1C C．． D D．．【解析】【解析】选选D.D.由题意，以由题意，以A A为原点，为原点，ABAB为为x x轴，轴，ACAC为为y y轴建立平面直角轴建立平面直角坐标系，设坐标系，设AP=m, AP=m, 则则P(m,0),A(0P(m,0),A(0，，0),B(4,0)0),B(4,0)，，C(0,4),C(0,4),直线直线BCBC的方程为的方程为x+y=4x+y=4，则点，则点P P关于直线关于直线BCBC的对称点的对称点P P1 1的坐标为的坐标为(4,4(4,4－－m)m)，点，点P P关于直线关于直线ACAC的对称点的对称点P P2 2的坐标为的坐标为( (－－m,0)m,0)，而三角形，而三角形ABCABC的重心为的重心为 根据光学性质知根据光学性质知点点P P1 1，，P P2 2，，G G三点共线，则三点共线，则 解之得解之得故故(3)(2013·(3)(2013·四川高考四川高考) )在平面直角坐在平面直角坐标系内系内, ,到点到点A(1,2),B(1,5),A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐的距离之和最小的点的坐标是是　　　　　　　　. .【解题提示】【解题提示】分析已知条件可知四边形分析已知条件可知四边形ABCDABCD是凸四边形是凸四边形, ,要求的点需要求的点需要到四点的距离之和最小要到四点的距离之和最小, ,可知该点应是可知该点应是ACAC与与BDBD的交点的交点. .【解析】【解析】由题可知由题可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形四边形ABCDABCD的对的对角线的交点到四点的距离之和最小角线的交点到四点的距离之和最小, ,直线直线ACAC的方程为的方程为2x-y=0,2x-y=0,直线直线BDBD的的方程为方程为x+y-6=0,x+y-6=0,所以其交点为所以其交点为(2,4).(2,4).答案答案: :(2,4)(2,4)考点考点1 1 直直线的交点的交点【典例【典例1 1】】(1)(2015·(1)(2015·滨州模州模拟) )当当00):x+3y+m=0(m>0)与直与直线l2 2: :2x+6y-3=02x+6y-3=0的距离的距离为 , ,则m=(m=(　　　　) )A.7 B. C.14 D.17A.7 B. C.14 D.17【解题提示】【解题提示】直线直线l1 1即即2x+6y+2m=0,2x+6y+2m=0,根据它与直线根据它与直线l2 2:2x+6y-3=0:2x+6y-3=0的距离的距离为为 , ,可得可得 由此求得由此求得m m的值的值. .【规范解答】【规范解答】选选B.B.直线直线l1 1：：x+3y+m=0(m>0)x+3y+m=0(m>0)，，即即2x+6y+2m=0,2x+6y+2m=0,因为它与直线因为它与直线l2 2：：2x+6y-3=02x+6y-3=0的距离为的距离为所以所以 故选故选B.B.悟悟··技法技法距离的求法距离的求法(1)(1)点到直点到直线的距离的距离可直接利用点到直可直接利用点到直线的距离公式来求的距离公式来求, ,但要注意此但要注意此时直直线方程必方程必须为一般式一般式. .(2)(2)两平行直两平行直线间的距离的距离①①利用利用““化化归””法将两条平行法将两条平行线间的距离的距离转化化为一条直一条直线上任意一点上任意一点到另一条直到另一条直线的距离的距离; ;②②利用两平行利用两平行线间的距离公式的距离公式. .提醒提醒: :在在应用两条平行用两条平行线间的距离公式的距离公式时, ,应把直把直线方程化方程化为一般形式一般形式, ,且使且使x,yx,y的系数分的系数分别相等相等. .通通··一类一类1.(2015·1.(2015·张家界模拟张家界模拟) )在直角三角形在直角三角形ABCABC中，点中，点D D是斜边是斜边ABAB的中点，的中点，点点P P为线段为线段CDCD的中点，则的中点，则 =( ) =( )A.2 B.4 C.5 D.10A.2 B.4 C.5 D.10【解析】【解析】选选D.D.以以C C为坐标原点，为坐标原点，CA,CBCA,CB所在直线分别为所在直线分别为x x轴轴,y,y轴建立直轴建立直角坐标系，设角坐标系，设A(a,0),B(0,b)A(a,0),B(0,b)，则，则 从而从而|PA||PA|2 2+|PB|+|PB|2 2 =10|PC| =10|PC|2 2. .故故2.(2015·2.(2015·宝鸡模拟宝鸡模拟) )若动点若动点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )分别在直线分别在直线l1 1：：x-y-5=0,x-y-5=0,l2 2：：x-y-15=0x-y-15=0上移动，则上移动，则P P1 1P P2 2的中点的中点P P到原点的距离的最小值到原点的距离的最小值是是( )( )【解析】【解析】选选B.B.由题意得由题意得P P1 1P P2 2中点的轨迹方程是中点的轨迹方程是x-y-10=0,x-y-10=0,则原点到直则原点到直线线x-y-10=0x-y-10=0的距离的距离3.(2015·3.(2015·大庆模拟大庆模拟) )已知直线已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)A(1,3)到直线到直线l的距离为的距离为 则直线则直线l的方程为的方程为____________．．【解析】【解析】当直线过原点时，设直线方程为当直线过原点时，设直线方程为y=kxy=kx，由点，由点A(1,3)A(1,3)到直线到直线l的距离为的距离为 得得 解得解得k=k=－－7 7或或k=1k=1，此时直线，此时直线l的方程为的方程为y=y=－－7x7x或或y=xy=x，当直线不过原点时，设直线方程为，当直线不过原点时，设直线方程为x+y=ax+y=a，由点，由点A(1,3)A(1,3)到直线到直线l的距离为的距离为 得得 解得解得a=2a=2或或a=6a=6，此时所求的直，此时所求的直线方程为线方程为x+yx+y－－2=02=0或或x+yx+y－－6=0.6=0.综上所述，直线综上所述，直线l的方程为的方程为y=y=－－7x7x或或y=xy=x或或x+yx+y－－2=02=0或或x+yx+y－－6=0.6=0.答案：答案：y=y=－－7x7x或或y=xy=x或或x+yx+y－－2=02=0或或x+yx+y－－6=06=04.(2013·4.(2013·江苏高考江苏高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，设定点中，设定点A(a,a)A(a,a)，，P P是是函数函数y= (xy= (x＞＞0)0)图象上一动点，若点图象上一动点，若点P,AP,A之间的最短距离为之间的最短距离为 则则满足条件的实数满足条件的实数a a的所有值为的所有值为_____._____.【解析】【解析】设设 (m (m＞＞0)0)，由两点间的距离公式得，由两点间的距离公式得令令t=m+ ≥2t=m+ ≥2得得|PA|=|PA|=若若a≥2a≥2，则当，则当t=at=a时，时，|PA||PA|minmin= = 若若a a＜＜2 2，则当，则当t=2t=2时时,|PA|,|PA|minmin2 2=(2-a)=(2-a)2 2+a+a2 2-2=2a-2=2a2 2-4a+2=8-4a+2=8，解得，解得a=-1a=-1或或a=3(a=3(舍去舍去).).答案：答案：-1, -1, 巧思妙解巧思妙解9 9 巧用直巧用直线系求直系求直线方程方程【典例】【典例】(2015·(2015·金金华模模拟) )经过两条直两条直线l1 1:x-2y+4=0:x-2y+4=0和和l2 2:x+y-2=0:x+y-2=0的的交点且与直交点且与直线l3 3:3x-4y+5=0:3x-4y+5=0垂直的直垂直的直线l的方程的方程为　　　　　　　　. .【常规解法】【常规解法】由方程组由方程组 即即P(0,2).P(0,2).因因l3 3的斜率为的斜率为 , ,且且l⊥⊥l3 3, ,故故l的斜率为的斜率为- .- .故直线故直线l的方程为的方程为y=- x+2,y=- x+2,即即4x+3y-6=0.4x+3y-6=0.答案答案: :4x+3y-6=04x+3y-6=0【巧妙解法】【巧妙解法】方法一方法一: :l与与l3 3垂直垂直, ,故可设故可设l的方程为的方程为4x+3y+m=0.4x+3y+m=0.又由又由 得得P(0,2),P(0,2),代入直线代入直线l的方程得的方程得m=-6.m=-6.故直线故直线l的方程为的方程为4x+3y-6=0.4x+3y-6=0.方法二方法二: :设经过设经过l1 1与与l2 2交点的直线系方程为交点的直线系方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0(λ∈R),=0(λ∈R),即即(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0.(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0.因因l与与l3 3:3x-4y+5=0:3x-4y+5=0垂直垂直, ,故故(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0,(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0,解得解得λ=11.λ=11.故直线故直线l的方程为的方程为4x+3y-6=0.4x+3y-6=0.答案答案: :4x+3y-6=04x+3y-6=0【方法指【方法指导】】1.1.常常见的四大直的四大直线系方程系方程(1)(1)过定点定点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的直的直线系系A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0)=0(A)=0(A2 2+B+B2 2≠0),≠0),还可以表可以表示示为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0)()(斜率不存在斜率不存在时可可视为x=xx=x0 0).).(2)(2)与直与直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直平行的直线系方程是系方程是Ax+By+m=0(m∈RAx+By+m=0(m∈R且且m≠C).m≠C).(3)(3)与直与直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直垂直的直线系方程是系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).Bx-Ay+m=0(m∈R).(4)(4)过直直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直的交点的直线系方程系方程为A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+λ(A+λ(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(λ∈R),)=0(λ∈R),但不包括但不包括l2 2. .2.2.应用直用直线系的关注点系的关注点利用平行直利用平行直线系或垂直直系或垂直直线系求直系求直线方程方程时, ,一定要注意系数及符号一定要注意系数及符号的的变化化规律律. .【【类题试解】解】经过直直线3x-2y+1=03x-2y+1=0和直和直线x+3y+4=0x+3y+4=0的交点的交点, ,且平行于直且平行于直线x-y+4=0x-y+4=0的直的直线方程方程为　　　　　　　　　　. .【常规解法】【常规解法】先解方程组先解方程组 得两直线的交点得两直线的交点(-1,-1).(-1,-1).又因为直线与又因为直线与x-y+4=0x-y+4=0平行平行, ,故直线的斜率为故直线的斜率为1.1.于是由直线的点斜式方于是由直线的点斜式方程求得程求得:y-(-1)=x-(-1).:y-(-1)=x-(-1).即即x-y=0.x-y=0.【巧妙解法】【巧妙解法】方法一方法一: :因为所求直线与直线因为所求直线与直线x-y+4=0x-y+4=0平行平行, ,所以可设所所以可设所求直线为求直线为x-y+c=0.x-y+c=0.又因为该直线过直线又因为该直线过直线3x-2y+1=03x-2y+1=0与直线与直线x+3y+4=0x+3y+4=0的交点的交点(-1,-1),(-1,-1),所以所以- -1-(-1)+c=0,1-(-1)+c=0,即即c=0,c=0,所以所以, ,所求直线方程为所求直线方程为x-y=0.x-y=0.方法二方法二: :因为直线经过直线因为直线经过直线3x-2y+1=03x-2y+1=0和直线和直线x+3y+4=0x+3y+4=0的交点的交点, ,所以可所以可设直线方程为设直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,即即(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0.(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0.又因为所求直线与直线又因为所求直线与直线x-y+4=0x-y+4=0平行平行, ,因此因此 =1, =1,解得解得λ=- ,λ=- ,所所以所求直线方程为以所求直线方程为3x-2y+1- (x+3y+4)=0,3x-2y+1- (x+3y+4)=0,即即x-y=0.x-y=0.答案答案: :x-y=0x-y=0。