理论力学振动.ppt

返回总目录Theoretical M echanics 理论力学第三篇理论力学第三篇 动动 力力 学学制作与设计 贾启芬 刘习军  目目 录录Theoretical Mechanics14.1 14.1 主要内容主要内容主要内容主要内容14.2 14.2 基本要求基本要求基本要求基本要求14.3 14.3 重点讨论重点讨论重点讨论重点讨论14.4 14.4 例题分析例题分析例题分析例题分析14.5 14.5 典型习题典型习题典型习题典型习题 返回首页 返回首页Theoretical Mechanics14.1 主要内容主要内容 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容 14.1.1 单自由度系自由度系统的自由振的自由振动 1. 单自由度无阻尼自由振动 （1）振动微分方程标准形式固有频率 系统的固有频率和周期仅与系统的质量与刚度有关，与运动初始条件无关。

振幅和初位相则由运动初始条件决定 （2）运动方程振幅初相位周期频率或或 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容计算固有频率用能量法的理论基础是机械能守恒定律 x=0时，U=0, 动能具有最大值Tmax，速度为零时，T=0, 势能具有最大值Umax14.1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法（（3 3）等效的概念）等效的概念 keq---等效刚度meq---等效质量自由振动微分方程等效为广义坐标的形式自由振动微分方程等效为广义坐标的形式并联弹簧串联弹簧T＋U=常量其中得 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容 14.1.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 （1）振动微分方程标准形式 阻尼对周期影响不大，而对振幅有显著影响，使其按指数曲线衰减当n>pn时，运动不具有振动特性2）运动方程（n< pn即小阻尼情形）为阻尼比――衰减振动周期――振幅缩减率（即减幅系数）――对数减幅系数其中 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容其中 14.1.4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动 （1）受迫振动微分方程式 简谐激振力的三种形式：直接作用激振力弹簧悬挂点简谐运动引起的激振力偏心转子引起的激振力 有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数非齐次微分方程 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容受迫振动的频率等于激振力频率。

（2）稳态受迫振动规律其中： b――振幅，e――相位差 其中：――频率比――阻尼比――激振力之最大值引起的弹簧静伸长特解特解 Theoretical Mechanics14.1 14.1 主要内容主要内容 当l=1时，位相差e =/2，与阻尼大小无关工程上利用此特点，通过实验测量系统固有频率pn （3）共振w≈wn即l=1时发生共振此时 在共振频率附近阻尼对受迫振动振幅有显著影响远离共振区（l=0.75~1.25），其对振幅的影响可略去不计振动微分方程的全解为 衰减振动 强迫振动临界角速度 （4）转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速这种现象是由共振引起的临界转速 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容 （5）减振与隔振的概念 为了尽量减小振动，避免在共振区内工作许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施 减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。

例如，利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的 隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收 隔振有两种形式 a.主动隔振：将振源与基础隔离开 主动隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的幅值 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容 被动隔振是将防振的物体与振源隔离（振源来自地基的运动），防止或减小地基振动对物体的影响 被动隔振的效果位移传递率表示，定义为B为隔振后传到物体上的振动幅值，b地基运动的振动幅值 b.被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开 为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共振区时会产生较大的振动 通过计算可知位移传递率与力传递率具有完全相同的形式 返回首页Theoretical Mechanics14.2 14.2 基本要求基本要求基本要求基本要求 Theoretical Mechanics 返回首页14.2 14.2 基本要求基本要求14.2 基本要求基本要求1 .能建立单自由度系统线性自由振动、衰减振动和受迫振动的微分方程，熟悉振动的特征及运动方程。

2 ..利用等效的概念计算系统的等效刚度、等效质量3 .能熟练地应用能量法计算系统的固有频率4 .能熟练地求解单自由度振动线性系统的自由振动、衰减振动和强迫振动的微分方程5 .能熟练地计算系统的振动周期、频率、振幅、振幅缩减率（即减幅系数）、对数减幅系数等6 .掌握共振的条件，了解临界转速的基本概念7 .了解隔振的基本概念 返回首页Theoretical Mechanics14.3 14.3 重点讨论重点讨论重点讨论重点讨论 Theoretical Mechanics 返回首页14.3 14.3 重点讨论重点讨论 14.3 重点讨论重点讨论 求解单自由度系统振动问题，常归结为建立运动微分方程及求解有关的振动量的两个方面的问题，其步骤如下： (1)明确研究对象 (2)运动分析，选择坐标系根据系统的运动特性，选出相应的广义坐标一般选取系统的静平衡位置为广义坐标的原点，坐标轴沿振动的方向 (3)受力分析为计算方便，最好把系统置于广义坐标为正值的任意位置，然后画受力图。

这时，弹性恢复力与粘滞阻力应指向坐标的负方向 Theoretical Mechanics 返回首页14.3 14.3 重点讨论重点讨论 (4)建立运动微分方程根据具体问题选取动力学方程对质点问题一般采用牛顿定律；对于系统问题常用质心运动定理、动量矩定理、机械能守恒定律，也可采用能量法及拉格朗日方程将运动微分方程标准化，与提要中的标准方程比较，确定振动的类型 (5)根据题意，代入相应的公式求解对于那些只求振动时的各种物理量，可直接代入相应的公式求解 返回首页Theoretical Mechanics1414. .4 4 例例例例 题题题题 分分分分 析析析析 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-1 船舶振动记录仪的原理图如图所示重物船舶振动记录仪的原理图如图所示重物P连同杆连同杆BD对于支点对于支点B的转动惯量为的转动惯量为IE ,已知弹簧已知弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。

求重物求重物P在铅直方向的振动频率在铅直方向的振动频率解：解： 系统的位移系统的位移 角来表示角来表示系统的动能系统的动能则其运动方程则其运动方程 如如取取平平衡衡位位置置为为零零势势能能点点，，设设在在平平衡衡位位置置时时，，弹弹簧簧的的伸伸长量为长量为 st 此时，弹性力此时，弹性力Fst=k st , 向上  Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析该系统的势能该系统的势能即即 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-2 鼓轮：质量鼓轮：质量m1，对轮心回转半径，对轮心回转半径 ，，在水平面上在水平面上只滚不滑，大轮半径只滚不滑，大轮半径R，，小轮半径小轮半径 r ，，弹簧刚度系数弹簧刚度系数k1，，k2 ，，重物质量为重物质量为m2, 不计轮不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长求系和弹簧质量，且绳索不可伸长求系统微振动的固有频率。

统微振动的固有频率 解：取静平衡位置解：取静平衡位置O为坐标原点，取为坐标原点，取C偏离平衡偏离平衡位置位置x为广义坐标系统的为广义坐标系统的最大动能为最大动能为 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析系统的最大势能为系统的最大势能为设设 则有则有根据根据Tmax=Umax , , 解得解得 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-3 质量为质量为m1的电动机安装在弹的电动机安装在弹性基础上偏心距为性基础上偏心距为 e，，偏心质量为偏心质量为m2阻尼系数为阻尼系数为c，，转子以匀角速转子以匀角速w转动，试转动，试求电动机的运动求电动机的运动 解解：取电动机为研究对象，平衡位：取电动机为研究对象，平衡位置为坐标原点置为坐标原点O，，x轴铅垂向下为正。

作轴铅垂向下为正作用在电动机上的力有重力用在电动机上的力有重力Mg、、弹性力弹性力F、、阻尼力阻尼力FR、、惯性力惯性力FIe、、FIr，，受力图如受力图如图所示 根据达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析= h设电机的运动方程为设电机的运动方程为整理成标准形式整理成标准形式 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-4 已已知知不不计计梁梁的的质质量量，，物物块块质质量量为为m，，此此物物静静置置于于梁梁的的中中部部时时，，梁梁中中部部的的静静挠挠度度为为 0 = 5mm，，今今此此物物由由h = 1m处自由落在梁的中部后与梁不再分离处自由落在梁的中部后与梁不再分离求此后重物的运动方程求此后重物的运动方程 重物的运动方程为重物的运动方程为 解解 重物运动的力学模型如图重物运动的力学模型如图(b)，，它它的运动微分方程和初始条件是的运动微分方程和初始条件是式中，固有圆频率式中，固有圆频率 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-5 已已知知小小球球质质量量为为m，，当当它它作作水水平平微微幅幅振振动动时时，，弹弹性性线线张张力力大大小小F保保持持不不变变，，不不计计重重力力。

求求证证明明小小球球水水平平微微幅幅振振动是谐振动，并求其自由振动周期动是谐振动，并求其自由振动周期 所以所以解解 如图示坐标，小球的运动微分方程为如图示坐标，小球的运动微分方程为微幅振动时微幅振动时这是简谐振动的微分方程，证毕而运动周期为这是简谐振动的微分方程，证毕而运动周期为 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-6 已已知知两两轮轮转转速速相相同同，，转转向向相相反反，，板板AB的的质质量量为为m，，轮轮与与板板之之间间滑滑动动摩摩擦擦因因数数为为f，，若若将将板板质质心心C移移至至对对称称位位置置点点O释放求证明质心释放求证明质心C的水平运动为谐振动，并求其周期的水平运动为谐振动，并求其周期 这是谐振动的微分方程，证毕这是谐振动的微分方程，证毕解解 板受力如图，轮与板间有滑动板受力如图，轮与板间有滑动平板水平运动微分方程为平板水平运动微分方程为整理得整理得其振动周期为其振动周期为  Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-7 已已知知均均质质杆杆AB，，质质量量为为m1；；小小球球B质质量量为为m2，，大大小小不不计计；；两两弹弹簧簧刚刚度度系系数数均均为为k，，杆杆于于水水平平位位置置静静止止。

求求该该系系统微幅振动的固有圆频率统微幅振动的固有圆频率pn 解解 设设杆杆水水平平时时，，  = 0；；其其微微幅振动微分方程为幅振动微分方程为所以所以 式中式中代入上式，得代入上式，得 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-8 已已知知均均质质杆杆AB = l，，质质量量为为m；；A端端沿沿铅铅垂垂槽槽滑滑动动，，B端端沿沿水水平平槽槽运运动动，，两两侧侧弹弹簧簧相相同同，，  = 0为为杆杆的的静静平平衡衡位位置置求求弹弹簧簧刚刚度度系系数数为为多多大大，，振振动动才才能能发发生生；；这这时时固固有有圆圆频频率率pn为为多多大？大？ 解解 选选  = 0位位零零势势能能位位置置，，一一般般 处处，，该该系统的动能和势能分别为系统的动能和势能分别为得得 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程微幅振动的微分方程为微幅振动的微分方程为微幅振动时微幅振动时发生振动的条件为发生振动的条件为振动固有频率为振动固有频率为 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-9 已已知知质质量量为为m的的物物块块挂挂在在无无重重刚刚杆杆AB上上，，如如图图所所示，若两弹簧刚度系数为示，若两弹簧刚度系数为k1和和k2，，系统平衡时，系统平衡时，AB杆水平。

求物体自由振动的频率求物体自由振动的频率 解解 选选物物块块的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标x的的原原点点，，系系统统平平衡衡处处为为零零势势能能位位置置，，沿沿物物块坐标为块坐标为x时，其动能、势能为时，其动能、势能为式中式中 1、、 2是弹簧相对于静平衡位置的变形量，有是弹簧相对于静平衡位置的变形量，有对对AB杆，恒有杆，恒有 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析将将T、、V代入上式，即得运动微分方程为代入上式，即得运动微分方程为 由机械能守恒定律，有由机械能守恒定律，有所以，系统自由振动频率为所以，系统自由振动频率为由这两式求出由这两式求出 1、、 2代入势能表达式，得代入势能表达式，得 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-10 已已知知大大轮轮半半径径R，，质质量量m，，对对轴轴的的回回转转半半径径为为 ，，弹弹性性绳绳的的刚刚度度系系数数为为k，，小小轮轮半半径径为为r，，它它的的摆摆动动规规律律是是  =  0 sin  t，，不计小轮和弹性绳质量，且绳不松弛。

不计小轮和弹性绳质量，且绳不松弛求大轮稳态振动的振幅求大轮稳态振动的振幅 所以有所以有解解 大轮受力如图大轮受力如图(b)，，转动微分方程为转动微分方程为式中式中式中式中受迫振动的稳态振幅为受迫振动的稳态振幅为 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-11 已已知知均均质质滚滚子子质质量量m = 10kg，，半半径径r = 0.25m，，弹弹簧刚度系数簧刚度系数k = 20N/m，，阻尼系数阻尼系数c = 10N s/m，，滚子只滚不滑滚子只滚不滑求求 1）无阻尼的固有频率）无阻尼的固有频率fn；；2））阻尼阻尼 比比 ；；3）有阻尼的固有频）有阻尼的固有频率率fd；；4））此阻尼系统自由振动的周期此阻尼系统自由振动的周期TD 解解 选选静静平平衡衡位位置置为为广广义义坐坐标标x的的起起点，广义力和动能为点，广义力和动能为得运动微分方程为得运动微分方程为代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程由此得由此得 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析 例例14-12 已已知知 O1C = a sin  t，，a = 0.02m，，  =7rad/s，，弹弹簧簧在在0.4N作作用用下下伸伸长长0.01m，，物物B质质量量mB = 0.4kg。

求求物物B受受迫迫振动的规律振动的规律 解解 选选系系统统静静平平衡衡时时A、、B的的位位置置为为x­A、、xB的原点，如图的原点，如图(b)所处，图中，弹簧力为所处，图中，弹簧力为由此解出由此解出则物则物B的运动微分方程为的运动微分方程为 返回首页Theoretical Mechanics1414. .5 5 典典典典 型型型型 习习习习 题题题题 Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-1 已知图示各振动系统中，k1 = 5000N/m，k2 = 3000N/m，m = 4kg求物体自由振动的周期 答：在(a)、(b)两图中 ，T = 0.290s在(c)、(d)两图中 ，T = 0.1400s Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-2 已知图示振动系统，物块质量为m1时，自由振动周期为T1，质量为m2时，自由振动周期为T2。

求弹簧刚度系数k为多大？答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-3 已知斜面倾角为，弹簧的刚度系数为k，质量为m的小车从高为h处自由下行碰上弹簧后，不再与弹簧分开求此后小车振动的周期和振幅 答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-4 已知均质杆AB = l，质量m，弹簧刚度k求图(a)、(b)两种支承及平衡位置，微幅振动的固有圆频率 答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-5 已知半圆柱对过质心C，且平行于母线的轴线的回转半径为，设圆柱不打滑求它在平面上作微小摆动时的频率fn答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-6 已知图示振动系统，物 A 质量为 m，它在空气中振动的周期为T1，在液体中振动的周期为T2，设液体阻力为2Scv，S为物A阻力作用面的面积，v为运动速度，c为液体阻尼系数。

求阻尼系数 c 答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-7 已知图示车辆铅垂振动模型中，车身质量为m，弹簧刚度为k，路面曲线为y1 = dsin(/l)x1，若从t = 0时，车辆进入此路面，车速为v求 1）车身受迫振动方程；2）车速的临界值答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-8 已知物块质量为m，弹簧刚度为k，阻尼系数为c，及位移干扰x1 = asin t求 (a)、(b)两图中，质量块A受迫振动的规律 式中 答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-9 已知地基振动y1 = sin10t mm，仪器C质量m = 800kg，均布8个隔振弹簧使其振幅不超过0.1mm求每个弹簧的刚度 k 。

答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-10已知 电动机转速 = 60  rad/s，全机质量m = 100kg，欲使传到地上的干扰力降为原干扰力的1/10；求 隔振弹簧刚度系数k 答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题 14-11 已知质点A质量为m，弹簧刚度系数k和点D的干扰位移y = b sin t，不计杠杆质量求此结构受迫振动规律 式中 答答：。