成考专升本高数(二)笔记.doc

第一章 §1.1 一、 ㈠ 函数的概念函数、极限和连续 函数主要内容 y=f(x), x∈D 值域: Z(f).1. 函数的定义:定义域: D(f),2.分段函数: 3.隐函数: 4.反函数:? f ( x ) x ∈ D1 y=? ? g( x ) x ∈ D2F(x,y)= 0 y=f(x) → x=φ(y)=f (y) y=f (x)-1 -1定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 那么它必定存在反函数： y=f (x), D(f )=Y, Z(f )=X 且也是严格单调增加(或减少)的 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当 x1＜x2 时,假设 f(x1)≤f(x2), 那么称 f(x)在 D 内单调增加( 那么称 f(x)在 D 内单调减少( 那么称 f(x)在 D 内严格单调增加( 假设 f(x1)＞f(x2), 那么称 f(x)在 D 内严格单调减少( 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 根本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x ,x n -1 -1 -1)； )； )； )。

假设 f(x1)≥f(x2), 假设 f(x1)＜f(x2),(n 为实数)3.指数函数： y=a , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , 2.初等函数: 由根本初等函数经过有限次的四那么运算〔加、减、乘、除〕和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 二、 例题分析 例1. 求以下函数的定义域： x∈X⑴1 f ( x) = ? x+2 2 1? x有:1 解:对于 1 ? x2对于1? x2≠0解得:x≠±1x + 2 有:的定义域:x+2≥0x≥－2∴f (x)x ∈ [? 2,?1) ∪ (?1,1) ∪ (1,+∞)⑵1 f ( x) = ln(2 ? x )1 ln(2 ? x) ≠ 0 ，解得: 解: 由 ln(2 ? x ) 得：由x ≠1＜2ln(2 ? x )的定义域:得：(2 ? x )＞0，x∴f (x)x ∈ (? ∞ ,1) ∪ (1, 2 )例 2.设 f(x)的定义域为〔-1，1〕那么 f(x+1) 的定义域为 A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.[0,2] ∴ -2＜x＜0 应选 A. [ ] 解：∵-1＜x+1＜1即 f(x+1) 的定义域为: x∈(-2,0)例 3.以下 f(x)与 g(x)是相同函数的为A.f (x) = x g(x) = x, ，( )2B.f (x) = x2 g ( x) = xf (x) = ln x2 g ( x ) = 2 ln x，C.D.f (x) =ln x g( x) = 1 ln x 2， ，[]解：A.D( f ) = (? ∞,+∞) D(g) = [0,+∞)B. ，) D( f ) = (?∞,+∞ D(g) = (? ∞,+∞)?? x x ≤ 0 f ( x) = x = ? ? x x>02?? x x ≤ 0 g ( x) = x = ? ? x x>0应选 BC.) D( f ) = (?∞,0) ∪(0,+∞ D(g ) = (0,+∞ )， ，D.D( f ) = (0,+∞) D(g) = (?∞,0) ∪(0,+∞ )，例 4.求y = 2 + loga (x +3) (a >, a ≠ 1)的反函数及其定义域。

解：∵y =2+log(x+3) (a >,a ≠1) a， ∴x ∈(? 3,+∞) y ∈ (? ∞,+∞)，∵在(-3,+∞)内，函数是严格单调的x=a∴反函数：y ?2?3?1 x ?2x ∈(? ∞,+∞) y ∈(? 3,+∞)例 5.设y = f ( x) = a?3f (x) = 1? x2 , x ∈[?1,0]那么其反函数f ( x) =?1解：∵y = 1? x 2 , x ∈[?1,0], y ∈[0,1]在[? 1,0] f (x)内是严格单调增加的∴x = ± 1? y2∴取又∵x ∈ [? 1,0]x = ? 1? y2即：y = f ?1(x) = ? 1? x2x ∈ [0,1], y ∈ [? 1,0]〔应填? 1?x2〕例 6.设函数f1(x) f2(x)和是定义在同一区间D(f )上的两个偶函数，那么f1(x) ? f2(x)为函数解：设F(x) = f1(x) ? f2 (x)∵F(?x) = f1(?x) ? f2(?x)=f1 (x) ? f 2 (x) = F(x)是偶函数 〔应填“偶〞 〕∴f1(x) ? f2 (x)例 7. 判断f (x) = ln(x + 1+ x2 )的奇偶性。

解: ∵f (?x) = ln[ x + 1+ (?x) ] ?2= ln(? x + 1 + x 2 )= ln= ln(? x + 1 + x 2 )( x + 1 + x 2 ) x + 1+ x2? x2 +1 + x2 x + 1+ x2= ln1 x + 1+ x2= ln( x + 1 + x )2 ?1= ? ln(x + 1+ x2 ) = ? f (x)∴f (x)为奇函数例 8.设f (x) = cosωxf (x)的周期为 那么解法一: 设f (x)的周期为 T,f (x +T) = cos[ (x +T)] = cos( x +ωT) ω ω=f ( x ) = cos ωx∴cos(ωx + ωT ) = cos ωx而cos(u + 2π ) = cos u， ∴∴ωT = 2πT=2πω解法二：∵f ( x ) = cos ωx = cos(ωx + 2π )= cos ω ( x +T= 2π2πω) = f (x +2πω)∴ω2π。