三个正数的算术—几何平均不等式.docx

精选优质文档-----倾情为你奉上3　三个正数的算术—几何平均不等式[学习目标]　1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题．[知识链接]1．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？答案　三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．2．设a，b，c为正数，如何证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．答案　a3＋b3＋c3≥3abc⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0⇔(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0.由于a＋b＋c＞0且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，因而(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0成立．当且仅当a＝b＝c时，等号成立．[预习导引]1．三个正数算术——几何平均不等式当a、b、c∈R＋时，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称为正数a，b，c的算术平均，为正数a，b，c的几何平均．2．基本不等式的推广情形如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．要点一　利用三个正数的基本不等式证明不等式例1　设a、b、c∈R＋，求证：(1)(a＋b＋c)2≥27；(2)(a＋b＋c)≥.证明　(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3＞0，从而(a＋b＋c)2≥9＞0，又＋＋≥3＞0，∴(a＋b＋c)2≥3·9＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(2)∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3＞0，＋＋≥3＞0，∴(a＋b＋c)≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．规律方法　认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．跟踪演练1　已知a，b，c都是正数，求证：3≥2.证明　∵3－2＝a＋b＋c－a－b－3＋2＝c－3＋2＝＋＋c－3≥3－3＝0，∴原不等式成立．要点二　利用三个正数的基本不等式求最值例2　已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．解　 ∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝x＋x＋y≥3＝3＝3，当且仅当＝＝y时等号成立．又∵x2y＝4.∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.规律方法　利用注意三个正数的基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”，在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在．跟踪演练2　求y＝sin xcos2x，x∈的最大值．解　∵x∈，∴sin x＞0，y＞0.y2＝sin2 xcos4 x＝≤3＝3＝＝.故y≤＝，此时，2sin2 x＝cos2 x，tan2 x＝，y有最大值.要点三　三个正数的基本不等式的实际应用例3　已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．解　设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得＝，∴r＝(H－h)．∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0＜h＜H)．根据三个正数的基本不等式可得V圆柱＝···h≤3＝πR2H.当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H.规律方法　利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤①理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④验证相等条件，得出结论．跟踪演练3　设长方体的体积为1 000 cm3，则它的表面积的最小值为________ cm2.答案　600解析　设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则abc＝1 000，且a＞0，b＞0，c＞0.∴它的表面积S＝2(ab＋bc＋ca)≥2×3＝600.当且仅当a＝b＝c＝10(cm)时取“＝”号．∴它的表面积S的最小值为600 cm2.1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是(　　)A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，∴ymin＝6B．y＝2＋x＋≥3＝3·，∴ymin＝3C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4D．y＝x(1－x)·(1－2x)≤3＝，∴ymax＝答案　C2．函数y＝x2·(1－5x)的最大值为(　　)A. B. C. D.答案　A解析　y＝x2·(1－5x)＝·x·x·(1－5x)≤3＝，当且仅当x＝1－5x，即x＝时，等号成立．3．已知a，b，c为正数，则＋＋有(　　)A．最小值3 B．最大值3C．最小值2 D．最大值2答案　A解析　＋＋≥3＝3，当a＝b＝c时取等号．4．函数y＝x＋(x＞0)的最小值为________．答案　解析　y＝x＋＝＋＋≥3＝.当且仅当＝，即x＝1时等号成立．(1)求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立．(2)求形如y＝ax2＋(x＞0，a＞0，b＞0)的函数的最小值，关键是拆为＝＋，则y＝ax2＋＝ax2＋＋≥3＝.求形如y＝ax＋(x＞0，a＞0，bc＞0)的函数的最小值，关键是拆ax为＋，则y＝ax＋＝＋＋≥3＝.三个正数的算术—几何平均不等式　1．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是(　　)A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，∴ymin＝6.B．y＝2＋x＋≥3＝3，∴ymin＝3.C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4.D．y＝x(1－x)(1－2x)≤3＝，∴ymax＝.解析：选C　A、B、D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤3(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．2．已知a，b，c为正数，则＋＋有(　　)A．最小值3　 B．最大值3 C．最小值2 D．最大值2解析：选A　＋＋≥3＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，等号成立．3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是(　　)A. B. C. D.解析：选A　由logxy＝－2，得y＝.而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是(　　)A．V≥π B．V≤π C．V≥π D．V≤π解析：选B　设圆柱底面半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π3＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时，等号成立．5．若a>2，b>3，则a＋b＋的最小值为________．解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时，等号成立．答案：86．设00.故x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤3＝×＝(当且仅当x＝时，等号成立)．答案：7．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a.∵x－a>0，∴2x＋≥3＋2a＝3＋2a，当且仅当x－a＝即x＝a＋1时，等号成立．∴2x＋的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.答案：28．设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)≥.证明：∵a，b，c∈R＋，∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3>0.＋＋≥3>0，∴(a＋b＋c)≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．9．已知正数a，b，c满足abc＝1，求(a＋2)(b＋2)·(c＋2)的最小值．解：因为(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥3··3··3·＝27·＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值为27.10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式，得a2＋b2＋c2≥，①＋＋≥，所以2≥.②故a2＋b2＋c2＋2≥＋.又＋≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当＝时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式，得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立；当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a＝b＝c＝，原式等号成立．专心---专注---专业。