运用平面几何知识做解析几何题.pdf

1 994年第2期数学教攀研究么弓巧 用两点间的距离公式求最值杜秉 孝(山东新汉矿务局华丰矿 中学)一些最值问题,根据其结构特点,利用两点间的距离公式,借助数形结合,常常会得到妙解兹举例 说明例1求函数z=了砂十1+了扩一x 6+1 3的最小值.分析函数式变形为2二训(x一)“+(i一)2+侧(x一3)“+(1+1)“于是,可看作“求抛物线,=xZ上的点尸(x、x“)到点A(3,2)、B(0,1)距离之差的最大值.”由三角形两边之差小于 第三边知,当尸、A、B三点共线线上)时,f(x)取最大值于是可看作“求直线夕二1上的点尸x (,1 )到原点(0,0)和点A(3,一1)的距离之和的最小值作O(o,O)关于刀二1的对称点O,(0,2).则}P O`!=. ’.九a xx (卜侧( 3一o)“+(2一1 )“=侧10例3巳知x、,满足x一29+2二O,求二元函数f(劣,g)二了二2+,2+2二一6夕下1 0+亿x“+,,一4 x一18,+8 5的最小值.分析函数式可变形为( jx,妇二侧又妥下1)“+(,一丽厄一、1上瓦/一图!尸01,由平面 几何知识 知,当O ,、尸、A三点共线时,}尸O}一卜}尸A卜!尸O’卜}尸川二}O,A!最小,即:最小,. ’.二叫。

二!O产A!=侧(0一3)“+(2+1)“=3侧2例2求函数f (x )=侧牙万二感 妥厄丁赢下丽一了厂互砂下丁的最大值.(1992年全国高中数学竞赛试题)分析函数式变为 f(x )=了(xZ一2)“+(x一3)“一训(%“一1)“+(戈一0)“侧(戈一2)z十(g一9)“于是可看作“求直线二一2,+2=0上白勺点P(x,刀)到点A(一1,3)、B(2,9)距离之和的最 小值.”作A(一1,3)关穿于直线x一29+称点A尹(1,f侧二,,)=二侧(2一2=O的对1),同例!BA`}图3可知1)“+(9+1)“二侧101厂:甲才运用平面 几何知识做 解析几何题李斌(青海徨中多巴中学)解析几何就是用代数的方法研究几何图形的性质,它将代数、几何、三角等数学知识有机地联系在一起,尤其是平面几何知 识在平面解析几何中得到充分运用,因此,我们在做解析几何习题时不能忽视平面几何知识的作用要仔细观察、联想,由习题的特点,挖掘题目中的隐含条件,发现解析思想,巧妙地运用平面几何中的定义定理,数2 6数学 教 学 研 究1994年第2期形结合,使解题过程简单明潦,取得最佳解题方法因为切线x二2的斜率不存在,而应用 平 面几何的方法则可避免这种情况的发生.例1求过点尸 (1,一1 )的直线中,被圆x“+,2二1截得弦长为1的直线方程。

解设直线尸 A满 足 题设要求,尸 A与圆交于A、B两点,连结AO、BO,由O作O E土A B于E . ’IAB卜1,⋯在正△AOB中,旧E}=侧了/2设所求直线l的方程为g+1二左x (一1 )例3证明:以椭圆上任意一点尸和两焦点F,、F:为顶点的三角形的内心I,分△尸F:F:中匕尸的内 角平分线所成的 比为定值.证明在△尸F,F:中,F:I是△PF:D的乙尸F,D的平分线,.}尸F,}_!尸I}`’!F,DI一IID}原点O到直线l的距离为}1+k!认k“+1_侧32 化简得护+sk+1=0,左二一4士亿丽故所求直线l的方程为万+1=(一4士记瓦)(x一1 )即( 4干侧丽)x+,+(3士训巧)=.0注通常解法是设 出直线I的方 程,然后求直线与圆的 两交点,由弦长为1运用韦达定理求 出k,从而得出直线l的方程,这样解要繁得多同理〕鹦汾= 错“ 箫二, 禺午书留一二}尸F:}+!尸F21 }F:DI+}F:D}_Za2C= 孕定值’·例2求过点尸( 2,2 )注利用三角形内角平分线的性质解此题非常顺利.若要先建立乙尸和乙尸刀:F:的平分线的方程,求出 内心I的坐标,再求线段尸I和ID的比,则就相当繁了。

利用平面几何知识,求曲线的轨迹方程在解题中是经常碰到的,使繁琐的计算变得 且与圆你一1)艺+,2=1相切的 直线方程甚解圆(x一i)2+2二1的圆心为C (1,0 )连结尸C,以}尸C}为直径作圆C气则 OC`的 圆心为(3/2,1),半径为侧了/2,其方程为 x (一3/2)“十( 1一妇2=5/4,/(x一1)么+,2·1,__卜_k(x一3/2)z+(夕一1)乙=5/4圆交点A(2,0 )、B(2/5,4/5 )丫直径上的圆周角为直角,:.A、B就是由尸向OC所引的两条切线的切点,由两点式得出过尸且与 OC相 切的直线方程3x一4,+2=o和x 二2注一般解法是设切线方程 为g一2=k(x一2),切线方程与圆方程联立的方程组由△=解得=普则得切线方程为3x一尹=,这样就丢掉了圆 的另一条切线,简单易求例4设A为抛 物线,=xZ上的一个动点,以线 段O A为边作正方形A BCO ,求顶点C的轨迹方程解设A(x;,,:)、C(x,轴于M,CN土x轴 于N),作AM土戈丫乙NO C+乙MOA=90“乙MOA+匕OAM=9 0“. ’.乙NO C二乙OAM又, . ’旧C}=旧AI. ’.Rt△NOC丝Rt△MAO. ’.!ON!=}MA!,}NC}= =}OM !即}x}=},:},】川二!x:}, . ’点A在抛 物 线上,. ’.,:=二,2即Ixl=191“。

当x>o时,2=x,当x0 )或g“=一x (劣)的一条直径,M为圆上任一点从作直笋0k420Ag::0.Ai感4年第2期级半教争缺究土MN . ’A尸土MN. .fo叮了月P,在△A B 尸中,O为A B边的中点,则M也 是另一边B 尸的中点,:.!月尸}=2旧M t=2 r设p(x,,),则亿(x+:)`.+v`二Zr(`+r )2+,“=4 r:为尸点的轨迹方 程.下AN,使AN垂直于过M的切线MN,交BM的延长线于尸,求尸点的轨迹方程.解 连结OM,, . ’MN与00才目切 于M,. ’.OM韦达定理在求非 对称多项式值中的应用黄毅(芜湖师专,设x,、xZ是一 元二次方程ax“+b工+c=0 (a子0 )的两根,则由韦达定 理x,+x:=一b/a,工,x:二c/a,可求关于x,、x:的对称式的值对于关于x;、xZ的非对称多项式的求值问题,韦达定理是否继续可利用 呢?本文试给出有关定理并举例说明具体的求值方法定义1如果把多项式l (x:,x:)中的两个变元x,、xZ交换位置后,所得结果仍与原式 相 同,即f(x:,x:)f(xZ,x:),则称f(x;,xZ)为关于x:、x:的对称多项式,简称对称 式。

定义2如果把多项式( jx:,xZ)中的两个变元x,、x:交换位置后,所得结果 仅改变了原式 的符 号,即f (x1,x:),一f(x:,%,),则 称f(x;,x:)为关于x,、x:的交代多项式,简称 交代式定理设g(x;,x:)为关于x:、xZ的非对称多项式,则(1功(x,,xZ)+口(xZ,x、)为关于x,、x:的对称式;(2)口(xl,x:)一叮(x:,x,)为关于x,、翔的交代式.证 明(1)设f(x:,xZ)=口(x,,x:)+g(xZ,x l),则 交换j (x,,xZ)中两变元幻,翔的位置后,得f(x,x,)=刀(x,x,)+(x,,x)二夕(x,,xZ)+口(xZ,x;)二f(x,,二)由定义1,得知f(x:,xZ),即夕(x;,::)+夕x (:,工:)为关于x,、x:的对称式.(2)设f(x:,x:)=夕(x;,xZ)一夕(xZ,二:),则交换j (x,,xZ)中 两变元x;、x:的位置后,得f(x:,x,)=夕(xZ,x,)一g(x:,x:)“一〔g(尤:,多2)一g(xZ,xl)〕=一f (x:,朴).由定义2,得知f仕:,苏:)即夕(x,,x:)一gx (:,x;)为关于x l,x:的交代式.我们注意到对称式、交代式有着下述性质。

性质1关于x:,翔的对 称 多 项式f(x:,xZ)总可表示成初等对称多项式x,+脚,x l翔的多项式.性质2关于x,、x:的交代式j (x,,x:)必含有一次交代式x (:一x:)为其因 式,佘下的 另一 因式 一定是对称式同时,我们又有公式x l一咸=土了(x l一xZ)么=士训x (:+xZ)“一x 4:x:.因此,根据上述定理、性质和公式,对于一类非对 称多项式 的求值问题,我们已有了一条简便且行之有效的解题途径.举例说明例工设x,、xZ是一元二次方 程护十x一=的两相 异实根,且x,>xZ,不解方程,求下列各代数式的值g:2.210。