切向和法向分量PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,概述,：质点沿曲线运动时的速度相切于其运动路径，但加速度并不如此而把其加速度分解到其运动路径的切向和法向时可以对其加速度进行方便的研究本节内容,质点的平面运动,质点的空间运动,11.13.,切向和法向分量,质点的平面运动,首先设想一个质点如图所示的平面上做曲线运动设,P,为某时刻的位置，在,P,点，记单位矢量,e,t,与运动轨迹相切，指向运动方向（图,11.21a,），记,e,t,为,P,相对应的单位矢量y,x,O,P,e,n,e,t,e,t,P,图,11.21a,将,e,t,和,e,t,移于同一坐标原点,O,，如图,11.21b,得,e,t,大小为,2sin(,/2),，且,由 得,由于质点的速度,v,与运动路径相切则,对其两边关于,t,求导得,（,11.35,）,V=,v,e,t,(11.36),O,/2,r,e,t,e,t,e,t,图,11.21b,由于 其中,ds/dt=v,de,t,/d,=e,n,，,d/ds=1/,(,为曲率半径，图,11.22),（,11.37,）,y,x,O,圆心,s,P,e,t,e,t,=s/,P,图,11.22,所以,将公式代入 得,因此两分量分别为,综上,：,加速度的切向分量反应质点运动速率变化的快慢，而法向分量反应质点运动方向的变化。

只有当加速度的两个分量都为零时，加速度才会为零11.38,）,（,11.39,）,（,11.40,）,应用,：,质点运动的加速度的法向分量与路径的曲率半径有关，这一点在设计飞机机翼、火车铁轨以及凸轮的结构或尺寸时常被考虑在内，为了避免空气流过机翼是加速度的突然变化，机翼的轮廓常常设计成流线形的，同样对于火车铁轨，为避免加速度的突然变化（不利于设备和旅客）常常在直铁轨和圆弧铁轨间加过渡性的特殊铁轨通过过渡曲线防止了加速度的突变，是加速度连续的变化如下图：,凸轮,铁轨,机翼,质点的空间运动,和 、的关系在空间的质点的移动中同样适用,然而,由于空间曲线在,P,点有无数条直线与,P,点的切线方向垂直,（,图,11.24a,）,，因此，有必要更准确的定义单位矢量,e,n,x,z,y,P,P,e,t,e,t,切面,x,z,y,e,t,e,t,e,t,密切面,x,z,y,P,P,e,t,e,t,密切面,e,t,x,z,y,P,e,t,e,n,（在密切面内）,密切面,e,b,（垂直于密切面）,结论,：质点在,P,处的加速度可以分解为两个分量，一个沿切线方向，另一个沿主法线,e,b,方向xoy,面内曲线的密切面是不是,xoy,面？,肯定是！,11.14,径向和横向分量,在某些平面运动中，质点,P,的位置，由极坐标,r,和,（图,11.25a,）确定。

这样就可以将质点的速度和加速度方便的分解到平行于垂直于,OP,的方向上（图,11.25b,）,分量,e,r,和,e,分别称为径向分量和横向分量的单位向量图,11.25a,r,P,O,P,O,图,11.25b,r=,re,r,e,e,r,与,11.13,相似通过求导得到：,-e,r,代表与,e,r,反向的单位向量（图,11.25c,）通过微分的连锁规则，我们对,e,r,，,e,关于时间,t,求导,（,11.41,）,e,e,e,e,r,e,r,e,r,O,用点来代替关于,t,的导数,为获得质点,P,的速度,v,，,P,点的位置矢量,r,可由标量,r,和单位矢量,e,r,表示，对其两边关于,t,求导得,或由（,11.42,）得,为获得加速度再次对其关于时间,t,求导,（,11.42,）,（,11.43,）,联立 和 ，提出,e,r,和,e,得,速度和加速度在径向和横向的分量的大小为,特别的注意到,a,r,不等于,v,r,对时间的导数，,a,也不等于,v,对时间的导数,（,11.44,）,（,11.45,）,（,11.46,）,在质点绕圆心,O,做圆周运动中，由于,r,为常量，公式（,11.43,）和（,11.44,）分别变为,以,下,内,容,为,扩,展,质点运动的空间扩展：柱面坐标,质点,P,的空间位置，有时通过它的柱面坐标,R,，,z,（图,11.26a,）表示,x,z,y,P,R,z,图,11.26a,方便的用单位向量 ，和,k,（图,11.26b,）将质点,P,的位置矢量,r,分解到这些单位矢量的方向上，得到,和 分别表示在水平面,xy,平面上的径向矢量和横向矢量，矢量,k,代表轴的方向在方向和大小上的常量，我们容易证明,（,11.48,）,x,z,y,e,R,r,e,图,11.26b,R,e,R,P,k,zk,讲,述,完,毕,谢,谢,。