量子力学全同粒子体系特性.pdf

§§7.6 全同粒子的特性全同粒子的特性重点重点难点难点全同性原理全同性原理全同性特性全同性特性（一）全同粒子及其特性（一）全同粒子及其特性全同粒子全同粒子内禀性质（自旋、同位旋、静止质量、寿命、内禀磁矩等）完全相同的粒子叫全同粒子内禀性质（自旋、同位旋、静止质量、寿命、内禀磁矩等）完全相同的粒子叫全同粒子质子和中子，正负电子，内禀性质不完全相同，如带电状态不同不是全同粒子质子和中子，正负电子，内禀性质不完全相同，如带电状态不同不是全同粒子电子偶素中的电子、金属中的电子、氢原子中的电子和氦原子中的电子等，不论它处于何种物质中，在什么地方，内禀性质都一样电子偶素中的电子、金属中的电子、氢原子中的电子和氦原子中的电子等，不论它处于何种物质中，在什么地方，内禀性质都一样是全同粒子是全同粒子不是全同粒子不是全同粒子全同粒子体系全同粒子体系由两个或两个以上的全同粒子组成的体系，称为全同粒子体系由两个或两个以上的全同粒子组成的体系，称为全同粒子体系金属中的电子金属中的电子氦原子中的电子氦原子中的电子核中的质子集合核中的质子集合中子的集合中子的集合是全同粒子体系是全同粒子体系经典全同粒子经典全同粒子可区分可区分经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。

因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度轨道速度位置⇒ ⎩⎨⎧轨道速度位置⇒ ⎩⎨⎧ 1212总可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子总可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子微观全同粒子微观全同粒子不可区分不可区分微观粒子运动微观粒子运动服从服从 量子力学量子力学用用 波函数描写波函数描写在波函数重叠区在波函数重叠区粒子是不可区分的粒子是不可区分的由此可见，全同粒子只有当它们的波函数完全不重叠时，才是可以区分的，波函数发生重叠后，它们就不可区分了由此可见，全同粒子只有当它们的波函数完全不重叠时，才是可以区分的，波函数发生重叠后，它们就不可区分了二）全同性原理（二）全同性原理由全同粒子的不可区分性导致全同性原理的假设由全同粒子的不可区分性导致全同性原理的假设以氦原子为例：氦原子中有两个电子，假设一个处于基态，而另一个处于第一激发态以氦原子为例：氦原子中有两个电子，假设一个处于基态，而另一个处于第一激发态21EEE+=E体系能为若把两个电子交换，能量的状态不变。

体系能为若把两个电子交换，能量的状态不变0212azeEs−=2 02222azeEs−=，，全同性原理全同性原理全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子，体系的物理状态保持不变全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子，体系的物理状态保持不变——量子力学第五个基本假设——量子力学第五个基本假设（三）全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性（三）全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性1、全同粒子体系的波函数与哈密顿1、全同粒子体系的波函数与哈密顿),,...,,(21tqNΦ ΦΦ Φ= =∑∑∑∑ =≠=≠++∇−=++∇−=NijijiiiNWtqUtqH12221),(21)],(2[),,...,,(ˆ μ μ?体系的体系的哈密顿哈密顿可以表述为：可以表述为：iN),(iziiSrq?= =有一由个全同粒子组成的体系，以代表第个粒子的坐标和自旋，有一由个全同粒子组成的体系，以代表第个粒子的坐标和自旋，波函数波函数可写成可写成第i个粒子在外场中的能量第i个粒子在外场中的能量第i个粒子与第j粒子之间的相互作用能第i个粒子与第j粒子之间的相互作用能2、交换算符2、交换算符),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ 11ttPNijNjiijΦΦΦΦ≡ ≡),,...,,...,,...,(ˆ),,...,,...,,...,(ˆˆ 11tHtHPNijNjiij≡ ≡交换算符交换算符3、全同粒子体系的特性3、全同粒子体系的特性(1)交换体系中的任一对全同粒子，体系的哈密顿不变。

1)交换体系中的任一对全同粒子，体系的哈密顿不变证明：证明：} ),(21)],(2[{ˆ),,...,,(ˆˆ12221∑∑∑∑ =≠=≠++∇−=++∇−=NijijiiiijNijWtqUPtqHPμ μ?∑∑∑∑ =≠=≠++∇−=++∇−=NjijijjjWtqU122 ),(21)],(2[μ μ?),,...,,(ˆ 21tqHN= =即有交换对称性即有交换对称性),,...,,...,,...,(ˆ),,...,,...,,...,(ˆ 11tHtHNijNji= =(2)交换体系中的任一对全同粒子，体系的波函数有确定的对称性，且这种对称性不随时间改变2)交换体系中的任一对全同粒子，体系的波函数有确定的对称性，且这种对称性不随时间改变证明：证明：Φ ΦijPˆΦ Φ根据全同性原理，与描写同一状态,它们之间至多差一个常数因子,即根据全同性原理，与描写同一状态,它们之间至多差一个常数因子,即),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ 11ttPNjiNjiijΦλΦΦλΦ= =),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ 12 12ttPNjiNjiijΦλΦΦλΦ= =),,...,,...,,...,(1tNjiΦ Φ1±= ±=λ λ),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ 11ttPNjiNjiijΦλΦΦλΦ= =1±= ±=λ λ1+ += =λ λ,...),...,(...,,...),...,(...,jiijΦ ΦΦ Φ= =波函数是波函数是交换对称交换对称的，用表示的，用表示SΦ Φ1− −= =λ λ,...),...,(...,,...),...,(...,jiijΦ ΦΦ Φ− −= =波函数是波函数是交换反对称交换反对称的，用表示的，用表示AΦ Φ下面证明这种对称性不随时间改变：下面证明这种对称性不随时间改变：Φ ΦHPijˆˆΦ ΦijPHˆˆHHPijˆˆˆ= = 0]ˆ,ˆ[= =HPij0|ˆ|>====<=SijSijPdtd dtPdΦΦΦΦ即保持其对称性不变。

即保持其对称性不变SΦ Φ由此得出结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变即如果体系在某一时刻处于对称（反对称）的态，则它将永远处于对称（反对称）的态上由此得出结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变即如果体系在某一时刻处于对称（反对称）的态，则它将永远处于对称（反对称）的态上因为全同粒子的波函数具有确定的对称性，对称波函数保持交换不变号；反对称波函数保持交换变号所以，微观全同粒子体系的波函数可按因为全同粒子的波函数具有确定的对称性，对称波函数保持交换不变号；反对称波函数保持交换变号所以，微观全同粒子体系的波函数可按置换对称置换对称分为两类，分为两类，1）交换对称；2）交换反对称1）交换对称；2）交换反对称迄今为止，无发现例外迄今为止，无发现例外四） 玻色子和费米子（Bosons和Fermions）（四） 玻色子和费米子（Bosons和Fermions）实验证明：实验证明：2/??凡自旋是或的半奇数倍的粒子组成的全同粒子体系，波函数具有反对称性，服从费米—狄拉克（凡自旋是或的半奇数倍的粒子组成的全同粒子体系，波函数具有反对称性，服从费米—狄拉克（Fermi—Dirac）统计，这类粒子因而被称为）统计，这类粒子因而被称为费米子费米子。

电子电子质子质子中子中子自旋是零或的整数倍的粒子组成的全同粒子体系，波函数具有对称性，服从玻色自旋是零或的整数倍的粒子组成的全同粒子体系，波函数具有对称性，服从玻色—爱因斯坦（爱因斯坦（Bose—Einstein）统计，这类粒子因而被称为）统计，这类粒子因而被称为玻色子玻色子α α粒子粒子光子光子基态氦原子基态氦原子。