学习必备欢迎下载数学思想方法专题一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是数与形之间的相互转化 . 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及常见函数图象的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义 . 例 1 如图 1，数轴上的A，B，C，D四点所表示的数分别为a，b，c，d，且 O为原点．根据图中各点位置，判断与|a －c| 的值不同的是（）A． |a|+|b|+|c| B． |a-b|+|c-b| C． |a-d|-|d-c| D． |a|+|d|-|c-d| 分析：根据绝对值的性质计算出各绝对值表示的线段长，与|a-c|的长进行比较即可．解：由题意，知|a-c|=AC. ∵|a|+|b|+|c|=AO+BO+CO ≠AC，故 A选项正确；∵|a －b|+|c － b|=AB+BC=AC ，故 B选项错误；∵|a －d| －|d －c|=AD－CD=AC ，故 C选项错误；∵|a|+|d|－|c －d|=AO+DO －CD=AC ，故 D选项错误 . 所以选 A．点评：本题考查了实数与数轴，知道绝对值的意义是解题的关键．例 2 （2012 年河南省） 如图 2，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（ m ，3） ，则不等式2x23 D. x>3 分析：由于两条直线交于点A ，结合函数表达式y=2x 确定点A的横坐标．注意在交点左边和右边y 值的变化情况，根据图象信息直接确定不等式的解集. 解：把 A（m ，3）代入 y=2x，得 m=23. 所以 A（23，3）. 由图象可知，不等式2x＜ax+4 的解集为x＜23．故选 A. 点评：本题主要考查对一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练运用性质进行解题，并通过图象判断不等式的关系是解题的关键. 二、分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不明确的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的描述时， 按可能出现的所有情况来分别进行讨论，得出各种情况下相互独立的结论.分类的原则是： ①分类的每一部分是相互独立的；②一次分类必须依据同一个标准；③分类必须是逐次进行的. 例 3 （2012 年湘潭市）已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（0，2） ，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的表达式．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页 学习必备欢迎下载分析： 根据点（ 0，2）以及图象与两坐标轴围成的三角形面积确定图象与x 轴的交点坐标，注意分交点位于原点左侧和原点右侧两种情况讨论，根据两个点的坐标即可确定一次函数的表达式．解：∵一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象过点（0，2） ，∴b=2. 令 y=0，则 x=－k2. ∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴21×2×k2-=2，即k2=2. 当 k＞0 时，k2=2. 解得 k=1；当 k＜0 时， -k2=2.解得 k=-1 ．故此一次函数的表达式为y=x+2 或 y=-x+2 ．点评：确定一次函数的表达式，关键是确定图象与坐标轴的另一交点坐标. 由于题目中没有明确指出图象与x 轴交于正半轴还是负半轴，故需要分两种情况进行讨论. 例 4 （2012 年龙东市）等腰三角形的一腰长为5， 一边上的高为3， 则底边长为 ________．分析： 结合题意 “一边上的高” 将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，等腰三角形腰上的高又分为高在三角形内（锐角三角形）与高在三角形外（钝角三角形）两种情况，运用勾股定理，分别求解. 解： （1）若高是该等腰三角形底边上的高，如图3，此时， AB=AC=5 ，AD=3. 由勾股定理，得BD=22BDAB=2235=4. 所以底边BC=8.（2）若高是该等腰三角形腰上的高. ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图4，此时 AB=AC=5 ，BD=3. 由勾股定理，得AD=22BDAB=2235=4. 故 CD=1. 在 Rt△BCD中，由勾股定理，得BC=22CDBD=2213=10；②当等腰三角形为钝角三角形时，如图5. 此时 AB=AC=5 ，CD=3. 由勾股定理，得AD=22CDAC=2235=4. 故 BD=9. 在 Rt△BCD中，由勾股定理，得BC=22CDBD=2213=310. 综上，底边长为8 或10或 310. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页 学习必备欢迎下载点评： 题目没有图形，仅仅已知腰长以及一边上的高，答案不唯一，可以分高是底边上的高和是腰上的高两种情况讨论，其中腰上的高又分两种情况，高位于等腰三角形内和高位于等腰三角形外进行分类讨论，避免漏解或重解．三、转化思想转化思想常用的解题策略是：（1）已知与未知的转化：分析已知条件的内涵，挖掘其隐含条件，使得已知条件朝着明朗化的方面转化；对于一个未知的新问题，通过联想， 寻找转化为已知的途径，或者是从结论入手进行转化；（ 2）数与形的转化： 把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使许多概念直观而形象，有利于发现解题途径；（3）一般与特殊的转化：比如探究规律问题，从简单的某些属性，按照某种不变的规律向一般图形具有的性质进行探究等；（4）复杂与简单的转化：把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解答. 例 5 （2012 年湛江市）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题. 例：解一元二次不等式x2－ 4＞0. 解：∵ x2－4=（x＋2） （x－2） ，∴x2－4＞0 可化为（ x＋ 2） （x－ 2）＞ 0. 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①0202xx，或②0202xx. 解不等式组①，得x＞2；解不等式组②，得x＜－ 2. ∴（ x＋ 2） （x－2）＞ 0 的解集为 x＞2 或 x＜－ 2. 即一元二次不等式x2－4＞0 的解集为x＞ 2或 x＜－ 2. （1）一元二次不等式x2－16＞0 的解集为 _______；（2）分式不等式31xx＞0 的解集为 ____________；（3）解一元二次不等式2x2－ 3x＜0. 分析： （ 1）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解： （1）x＞4 或 x＜－ 4. （2）x＞3 或 x＜1. （3）∵ 2x2－3x=x（ 2x－3） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页 学习必备欢迎下载∴2x2－3x＜0 可化为 x（ 2x－3）＜ 0. 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①0320xx或②0320xx. 解不等式组①，无解；解不等式组②，得0＜x＜23. ∴x（2x－3）＜ 0 的解集为0＜x＜23. 即一元二次不等式2x2－3x＜0 的解集为0＜x＜23. 点评： 这是一道方法渗透性阅读理解题，解题的关键是认真阅读材料，并运用材料中提供的方法解答新的问题，这里渗透了转化思想．例 6 （2012 年日照市）如图6- ①，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图 6- ②，最大圆的半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则 S1_______S2（用“ >” 、 “<”或“=”填空） . 分析：观察图①可知，阴影部分的面积等于矩形CAFD的面积，观察图②可知，阴影部分的面积等于最大圆面积的41， 分别求出矩形CAFD的面积、最大圆面积的41后作比较即可．解：连接 OD ，如图 6- ①. ∵四边形OCDE 为正方形， OE=1 ，∴由勾股定理，得OD=22DEOE=2211=2. ∴AO=2. ∴AC=AO-CO=2－1. ∴S1=S矩形 CAFD=（2－1）× 1=2－1. ∵S大圆 =πr2= π，∴S2=41π．∵2<49，即2<23，∴2－1＜23-1 ，即2－1＜41. 又21<43<41π，∴2－1＜41π. ∴S1＜S2．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页 学习必备欢迎下载点评： 对不规则图形面积的考查是近几年中考的热点问题，主要是通过转化，将不规则图形转化为规则图形，再利用和或差进行计算．四、整体思想整体思想就是从问题的整体出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理. 例 7 （2012 年南通市）无论a 取什么实数，点P （a－1，2a－3）都在直线l 上，Q （ m ，n）是直线l 上的点，则（2m －n＋ 3）2 的值等于 ________．分析：根据无论a 取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l 上，确定函数的表达式，再把x=m ，y=n 代入函数表达式，求出2m －n 的值，最后整体代入．解：因为 2a－3=2（ a－1）－ 1，而无论a 取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l 上，所以直线l 的表达式是y=2x－1. 又 Q（m ，n）是直线l 上的点，所以n=2m －1，即 2m －n=1. 所以（ 2m －n＋3）2=（1＋3） 2=16．点评： 如果已知以含有字母的代数式为坐标的点在某直线上，可以通过研究点的横、纵坐标之间的关系来确定函数表达式. 用整体代入的方法求代数式的值是一种常用的方法．例 8 （2012 年内江市）如图7，在矩形ABCD中， AB=10 ，BC=5 ，点 E，F分别在 AB ，CD上，将矩形ABCD 沿 EF折叠，使点A，D 分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1 处，则阴影部分图形的周长为（）A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 分析： 要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，运用轴对称的性质，找到阴影部分的周长与原矩形边长的关系. 解：因为在矩形ABCD中， AB=10，BC=5 ，所以 CD=AB=10 ， AD=BC=5. 根据轴对称的性质，得A1E=AE ，A1D1=AD ，D1F=DF. 设线段 D1F 与线段 AB交于点 M ，则阴影部分的周长是：（A1E＋EM ＋MD1＋A1D1）＋（ MB ＋MF ＋FC＋CB ）=AE ＋EM ＋MD1＋AD ＋MB ＋ MF ＋FC ＋CB =（AE ＋EM ＋ MB ）＋（ MD1＋MF ＋FC）＋ AD ＋CB =AB ＋（ FD1＋FC）＋ 5＋5 =10＋（ FD ＋ FC）＋ 10 =20＋DC =20＋10 =30. 故选 D. 点评：灵活运用轴对称的性质是解决此类问题的关键，正确找出折叠前后的对应边和对应角，运用整体代换有助于解决问题. 五、建模思想建模思想就是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种思想方法．例９某地上年度电价为０． ８元 / 度， 年用电量为１亿度， 本年度计划将电价调至０．５５至０．７５元之间．经测算，若电价调至ｘ元，则本年度新增用电量ｙ亿度与ｘ－０．４成反比例，又当ｘ＝０．６５元时，ｙ＝０．８．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页 学习必备欢迎下载（２）若每度电的成本价为０．３元，则电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是多少？［收益＝用电量×（实际电价－成本价）］分析： 本题ｙ与ｘ虽不是反比例函数，但根据题意ｙ与ｘ－０．４成反比例，根据反比例的特点列出关系式ｙ＝4.0xk，用待定系数法就可确定函数关系式．用电量与实际电价减去成本价，二者乘积即为收益．根据题意列出方程解之即可得到结果．解： （１）∵ｙ与ｘ－０．４成反比例，∴设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝4. 0xk（ｋ≠０），把ｘ＝０． ６５， ｙ＝０． ８代入，可以求出ｋ＝０．２．∴ ｙ＝4. 02. 0x=251x．（２）根据题意，收益为1+251x· （ｘ－０．３）亿元．将ｘ＝０．６代入，得收益为０．６亿元．所以当电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是０．６亿元．点评：函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一．很多实际问题都可以归结为函数问题．根据题意，找出变量之间的关系，建立适当的数学模型是解题的关键．六、 方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解. 一般方法是认真分析题中的各个量以及相互关系，用一个或者几个等量关系描述题目中所有的相等关系，建立方程（组）模型，进而确定未知数的值，使问题获得解答 . 例 10 （2012 年济宁市） 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60 棵，每棵售价 120 元；如果购买树苗超过60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于100 元，该校最终向园林公司支付树苗款8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？分析：设该校共购买了x 棵树苗 . 由题意，得x［120－0.5 （x－60） ］=8800，解方程即可．解：因为 60 棵树苗售价为120 元× 60=7200 元， 7200 元＜ 8800 元，所以该校购买树苗超过 60 棵. 设该校共购买了x 棵树苗 . 由题意，得x［120－0.5 （x－60） ］=8800. 解得 x1=220，x2=80．当 x1=220 时， 120－0.5 ×（ 220－60）=40＜100，∴x1=220（不合题意，舍去） ；当 x2=80 时， 120－0.5 ×（ 80－60）=110＞100，∴该校共购买了80 棵树苗．点评：根据已知“如果购买树苗超过60 棵，每增加1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元”列出方程是解题关键. 例 11 （2012 年潍坊市）为了援助失学儿童，九年级学生李明从2012 年 1 月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每 6 个月一次将储蓄盒内的存款一并汇出（汇款手续费不计）．已知 2 月份存款后清点储蓄盒内有存款80 元，5 月份存款后清点储蓄盒内有存款125 元．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页 学习必备欢迎下载（1）在李明2012 年 1 月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？（2）为了实现到2015 年 6 月份存款后存款总数超过1000 元的目标，李明计划从2013年 1 月份开始，每月存款都比2012 年每月存款多t 元（ t 为整数），求 t 的最小值．分析： （1）根据题目中的两个相等关系：①储蓄盒内原有存款+2 个月的存款 =80 元；②储蓄盒内原有存款+5个月的存款 =125 元，列方程组求解即可. （2）首先计算出2012 年共有的存款数，再由题意可得从2013 年 1 月份开始，每月存款为（ 15+t ）元；从2013 年 1 月到 2015 年 6 月共有 30 个月，共存款30×（ 15+t ） ，再加上 2012 年共有的存款总数超过1000 元，由此构造不等式取符合条件的最小整数值即可．解：（1） 设李明每月存款x 元， 储蓄盒内原有存款y 元 . 依题意，得 2x+y=80 和 5x+y=125. 解得 x=15， y=50. 所以储蓄盒内原有存款50 元．（2）由（ 1） ，得李明 2012 年共有存款12×15＋50=230（元），2013 年 1 月份后每月存入（ 15＋t）元， 2013 年 1 月到 2015 年 6 月共有 30 个月 . 依题意，得230＋30（15＋t ）＞ 1000. 解得 t ＞1032. 所以 t 的最小值是11．点评： 建立方程模型应从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等，求出结果并结合题意讨论结果的意义，得出符合题意的解．七、函数思想函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题. 也是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，一般方法是认真分析题意，恰当设变量，寻找题目中相关量之间的相等关系，构造方程（组），确定函数的表达式，再结合题意进行有关探究、计算. 例 12 （2012 年温州市）如图8，在△ ABC中，∠ C=90°， M是AB的中点，动点P从点 A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点 C出发，沿 CB方向匀速运动到终点B．已知 P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP ，MQ ，PQ ．在整个运动过程中，△MPQ面积的变化情况是（）A． 一直增大B． 一直减小C． 先减小后增大D． 先增大后减少分析：思路1，找出几个特殊情况时△MPQ 的面积大小情况：①当 P，Q两点刚开始运动时，△MPQ 的面积；②当 P，Q两点同时运动到三角形所在边的中点时，△MPQ 的面积；③当 P，Q两点运动到接近终点时，△MPQ 的面积．然后比较求解．思路 2，把△ MPQ 的面积用运动时间t 的函数表示出来，根据函数性质解答．解法一 （合情推理） ：当点 P从点 A出发时， △MPQ 的面积等于△ ACM 的面积， 即等于△ ABC面积的21；当点 P 运动到边AC的中点时，点Q也相应地运动到BC边的中点，此时△MPQ 是△ ABC的中点三角形，△MPQ ∽△ CBA ，其相似比为21. ∴△ MPQ 的面积等于△ABC面积的41；当点 P接近点 C ，点 Q接近点 B时，△ MPQ 的面积接近于△BCM 的面积，即约等于△ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页 学习必备欢迎下载面积的21. 综上可知，△MPQ 的面积大小变化情况是先减小后增大．故选C．解法二（建立面积的函数模型）：设点 P从 A到 C运动的总时间为t ，从 A到 P运动的时间为 m ，从 P到 C运动的时间为n，则 m ＋n=t ，记 AC=b ，BC=a ，则△ APM中，AP=nmmb，AP边上的高为21a，所以S△ＡＰＭ＝21·nmmb·21a=41·nmm·ab. 同理得到S△BQM＝21·nmna·21b=41·nmn·ab；S△ＰＣＱ＝21·nmmb·nmna=21·2nmmn·ab；S△ＡＢＣ＝21ab. ∴S△MPQ=S△ＡＢＣ-S△Ａ PM-S△ BQM-S△PCQ ＝21ab-41·nmm·ab－41·nmn·ab－21·2nmmn·ab =21ab-21·2nmmn·ab =21ab·１－22-1nmmn＝41ab·222nmnm＝24tab［m2+（t-m ）2］＝22tab（m2-tm+21t2）＝22tab（m-21t ）2＋81ab. ∵22tab>0且81ab 是一个常数，∴当 m=21t 时，△ MPQ 的面积取最小值81ab；当 m<21t 时，即点P到达 AC中点前，△ MPQ 的面积逐渐减小；当 m>21t 时，即点P过 AC中点后，△ MPQ 的面积逐渐增大．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页 学习必备欢迎下载故选 C．点评： 在解答运动变化的选择题时，过程不一定需要很严谨，利用特殊位置确定一些特殊值，然后结合变化过程运用合情推理找到正确答案即可．如果从变化的数量上描述变化的规律，可以建立函数模型，运用函数的性质加以分析，最终得出变化的规律. 例 13 （2012 年绵阳市）某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择. 方案一：每千克种子价格为4 元，无论购买多少均不打折；方案二：购买3 千克以内（含3 千克）的价格为每千克5 元，若一次性购买超过3千克的, 则超过 3 千克的部分种子价格打7 折. （1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额y（元）之间的函数表达式 . （2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？请说明理由. 解析： （ 1）方案一： y=4x；方案二：35 .45. 335xyxxx（2）设购买x 千克的种子 . 当 x≤3 时，选择方案一. 当 x>3 时：当 4x=3.5x+4.5时， x=9；当 4x>3.5x+4.5时， x>9；当 4x<3.5x+4.5时， x<9. 所以当购买种子的质量少于９千克时，应选择方案一；当购买种子的质量为９千克时，选择两种方案均可；当购买种子的质量超过９千克时，应选择方案二. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页 。
