南昌航空大学学年试卷及答案.doc

课程名称：高等数学 闭卷 A卷 120分钟题号一二三四五六七合计满分211414247146100实得分评阅人 得分班级------------------- 学号-------------- 姓名----------------- 重修标记一、 （每小题7分，共21分）1、设，求解： ………………………………………………… 4分 ………………………………………………… 7分2、设，求解： ………………………………………………… 3分 ………………………………………… 7分3、求曲面在点处的切平面和法线方程解：令 ………………………… 1分 ， ， ，， ………………………………………… 3分切平面方程： 即 ……………………………… 5分 法线方程：, 即 ………7分 评阅人 得分二、 计算下列重积分（每小题7分，共14分） 1、, D由所围成。

解： ……………………………………………… 4分 …………………………………………7分2、，由确定解：在球面坐标系下，为：，， … 2分 ………………… 4分 ………………………………… 7分 评阅人 得分三、计算下列曲线、曲面积分（每小题7分，共14分）1、，其中为从点沿曲线到点的弧段解： ……………………………… 4分 ………………………………………………… 7分2、，其中为球面的下半部分的下侧解:在xOy面上的投影区域D: ………… 2分 …………………… 3分 ………………… 5分 ………………… 7分评阅人 得分四、判断下列级数的敛散性（每小题6分，共24分）1、（1）； （2）。

解：（1） （2） …4分 …4分 收敛 …6分 由根值判别法知收敛…6分2、下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）、； （2）、解:（1） 而是的级数，收敛 ……………………… 5分从而绝对收敛 ……………………………………………… 6分 （2） 且 从而由莱布尼兹判别法知收敛 ………………… 3分 但 是的级数，发散 故条件收敛 ………………………………………… 6分评阅人 得分五、（7分）选做题（电子系、计算机系、测控系做第1题，其他系做第2题）1、将函数展开成余旋级数解：对进行偶延拓 ………………………………………… 1分 ………………………………………… 2分 ………………………… 4分 …………………… 6分 …………………… 7分2、求幂级数的收敛区间以及和函数。

解： ………………… 2分 故当，即时，幂级数收敛 而 时， 发散，故收敛区间为 …………………… 4分 设 ，, 于是＝ ………………………………………… 7分评阅人 得分六、（每小题7分，共14分）1、求微分方程满足初始条件的特解解：是一阶线性微分方程，其中 ……………… 2分 ………… 5分由，设， 特解为 ………………………………… 7分2、求的通解解：是二阶常系数线性非齐次方程 , 特征方程： , 所以 4分由于不是特征方程的根，故设特解 ……… 5分代入方程比较系数解得 从而，通解为，其中为任意常数 7分评阅人 得分七、（6分）验证：存在，使成立，并求解：令， ……………… 1分 ……………………… 2分 ，从而为全微分，即存在使得 ………………………………………… 3分 ……… 5分 或 ………………………………… 7分。