2023年三角形知识点总结.docx

三角形知识点总结一、 基础知识1、三角形的定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.    （三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点） 2、三角形的表达     三角形ABC用符号表达为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表达，AC可用b表达，BC可用a表达.三个顶点用大写字母A,B,C来表达 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形； （3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没故意义3、三角形的分类：（1）按边分类： 等腰三角形、等边三角形、不等边三角形  （2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形         4、三角形的重要线段的定义： （1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC= BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 （重心）③中线把三角形提成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 ：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2= ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心）③角平分线上的点到角的两边距离相等 （3）三角形的高 ： 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。

三角形三条高所在直线交于一点（垂心 ）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（由于高底不同样）   （4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段 如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC 注意：①三角形的中垂线是直线； ②三角形的三条中垂线交于一点（外心）小总结：内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边距离相等.外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.性质：到三个顶点距离相等.重心：三条中线的交点.性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.垂心：三条高所在直线的交点.5、三角形的三边关系 ：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短； （2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 6、三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180°; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 7、三角形的内角和定理 ：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。

  8、三角形的外角的定义 ：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个） 如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.      所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 三角形外角的性质 ：（1） 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．9、三角形的稳定性： 三角形的三边长拟定，则三角形的形状就唯一拟定，这叫做三角形的稳定性．10、多边形 ：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形1）多边形的对角线 ：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线  （2）正多边形 ： 各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形 （3）多边形的内角和为  （n-2）*180度 ；多边形的外角和为 360度 二、等腰三角形1、等腰三角形的概念定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角2、三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合（简称为“三线合一”）3、等腰三角形的鉴定：假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）注意：要对的区分等腰三角形的性质和鉴定4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形5、等边三角形的性质和鉴定性质：（1）等边三角形的三条边都相等（2） 等边三角形的每一个角都等于60度鉴定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于（2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点三、直角三角形1、定义：有一个角为直角的三角形称为直角三角形。

在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角边直角所对的边称为斜边直角三角形直角所对的边也叫作“弦”若两条直角边不同样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”2、分类：直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，尚有等腰直角三角形（属于特殊情况)3、鉴定定理等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等 直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R直角三角形是一种特殊的三角形4、特殊性质它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）该性质称为直角三角形斜边中线定理性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：射影定理图（1）（AD)²=BD·DC。

2）（AB)²=BD·BC3）（AC)²=CD·BC性质6:在直角三角形中，假如有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，假如有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°证明：先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2∵∠A=30°∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）∴BC=BD=AB/2再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又∵BC=AB/2∴BC=CD=BD∴∠B=60° ∴∠A=30°性质7:如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC两边乘以2，再平方得AB²*AC²=AD²*BC²运用勾股定理，再两边除以  ,最终化简即得性质8:直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形和原三角形相似。

鉴定方法：鉴定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形鉴定2：若  ，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）鉴定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形鉴定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形鉴定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直那么这个三角形为直角三角形鉴定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形参考直角三角形斜边中线定理鉴定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形四、勾股定理勾股定理内容：假如直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a +b =c ； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方假如三角形的三条边a，b，c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形称勾股定理的逆定理）五、全等三角形可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ，而该两个三角形的三条边及三个角都相应相等全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都相应相等1、性质（1）全等三角形的相应角相等。

2）全等三角形的相应边相等3）可以完全重合的顶点叫相应顶点4）全等三角形的相应边上的高相应相等5）全等三角形的相应角的角平分线相等6）全等三角形的相应边上的中线相等7）全等三角形面积和周长相等8）全等三角形的相应角的三角函数值相等2、全等三角形的鉴定· SSS（边边边）：三边相应相等的三角形是全等三角形· SAS（边角边）：两边及其夹角相应相等的三角形是全等三角形· ASA（角边角）：两角及其夹边相应相等的三角形全等· AAS（角角边）：两角及其一角的对边相应相等的三角形全等· HL(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等下列两种方法不能验证为全等三角形：· AAA（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形· SSA（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等六、相似三角形三个角相应相等、三条边相应成比例的两个三角形叫做相似三角形1、预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似这是相似三角形鉴定的定理，是以下鉴定方法证明的基础这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）2、鉴定定理 常用的鉴定定理有以下6条：鉴定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相应相等，那么这两个三角形相似。

简叙为：两角相应相等，两个三角形相似AA）鉴定定理2：假如两个三角形的两组相应边成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似简叙为：两边相应成比例且夹角相等，两个三角形相似SAS）鉴定定理3：假如两个三角形的三组相应边成比例，那么这两个三角形相似简叙为：三边相应成比例，两个三角形相似SSS）鉴定定理4：两个三角形三边相应平行，则两个三角形相似简叙为：三边相应平行，两个三角形相似鉴定定理5：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例，那么这两个直角三角形相似。