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©二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第四节积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分反常积分反常积分 ()() 第五五章 ©一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分引例引例. 曲线曲线和直线和直线及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积边梯形的面积 可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 ©定义定义1. 设设若若存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限广义积分广义积分, 记作记作这时称广义积分这时称广义积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分发散发散 .类似地类似地 , 若若则定义则定义©则定义则定义( c 为任意取定的常数为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称发散发散 .无穷限的广义积分也称为无穷限的广义积分也称为第一类广义积分第一类广义积分. 并非不定型并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 它表明该反常积分发散它表明该反常积分发散 . .©引入记号引入记号则有类似则有类似牛牛 – 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式 :©例例1. 计算广义积分计算广义积分解解:思考思考: 分析分析:注意注意: 对广义积分对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .©例例2. 计算广义积分计算广义积分. .解解　　©例例+ 计算反常积分计算反常积分解解©例例3.计算广义积分计算广义积分解　令解　令，即，即，，则，且当，且当时，，当当时，， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. .©例例4. 证明第一类证明第一类 p 积分积分证证:当当 p =1 时有时有 当当 p ≠ 1 时有时有 当当 p >1 时收敛时收敛 ; p≤1 时发散时发散 .因此因此, 当当 p >1 时时, 广义积分收敛广义积分收敛 , 其值为其值为当当 p≤1 时时, 广义积分发散广义积分发散 . ©例例5. 计算广义积分计算广义积分解解:©1.计算计算 2002年考研数学年考研数学(一一)填空填空3分分解解2.位于曲线位于曲线下方下方, x轴上方的轴上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解 2002年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分©二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分引例引例:曲线曲线所围成的所围成的与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 ( (瑕积分瑕积分) )©定义定义2. 设设而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,存在存在 ,这时称广义积分这时称广义积分收敛收敛 ; 如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分发散发散 .类似地类似地 , 若若而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,若极限若极限数数 f (x) 在在 [a , b] 上的广义积分上的广义积分, 记作记作则定义则定义则称此极限为函则称此极限为函 ©若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分, 无界点常称无界点常称邻域内无界邻域内无界 ,为为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如例如,间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则本质上是常义积分, 则定义则定义©注意注意: 若瑕点若瑕点的计算表达式的计算表达式 : 则也有类似牛则也有类似牛 – 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则则则可相消吗可相消吗?©下述解法是否正确下述解法是否正确: , ∴∴积分收敛积分收敛例例6+. 计算广义积分计算广义积分解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式例例7. 讨论广义积分讨论广义积分的收敛性的收敛性 . 解解:所以反常积分所以反常积分发散发散 .©例例8. 证明广义积分证明广义积分证证: 当当 p = 1 时时,当当 p < 1 时收敛时收敛 ; p≥1 时发散时发散 .当当 p≠1 时时所以当所以当 p < 1时时, 该广义积分收敛该广义积分收敛 , 当当 p≥1时时, 该广义积分发散该广义积分发散 .©例例+. 证明广义积分证明广义积分证证: 当当 q = 1 时时,当当 q < 1 时收敛时收敛 ; q≥1 时发散时发散 .当当 q≠1 时时所以当所以当 q < 1 时时, 该广义积分收敛该广义积分收敛 , 其值为其值为当当 q ≥ 1 时时, 该广义积分发散该广义积分发散 .©例例9. 计算广义积分计算广义积分 .解解:©例例10. 计算广义积分计算广义积分解解 令令，即，即，，则所以所以 ©内容小结内容小结 1. 广义积分广义积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限 2. 两个重要的广义积分两个重要的广义积分©说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以广义积分和常义积分可以互相转化互相转化 .例如例如 ,(2) 当一题同时含两类广义积分时当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分分别讨论每一区间上的广义积分.©反反 常常 积积 分分思考题思考题1( (选择题选择题) )解答解答恒等于常数恒等于常数. .©备用题备用题1 试证, 并求其值 .解解:令©©2.解解：求的无穷间断点, 故 I 为广义积分.。