(完整版)数值分析教案.doc

§1 插值型数值求积公式 教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法教学时数 12学时 教学过程 1．1一般求积公式及其代数精度设是上的权函数，是上具有一定光滑度的函数用数值方逑下积分的最一般方法是用在节点上函数值的某种线性组合来近似其中是独立于函数的常数，称为积分系数，而节点称为求积节点我们也可将（1．2）写成带余项的形式（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式更一般些的求积公式还可以包含函数在某些点的低阶导数值在（1.3）中余项也称为求积公式的截断误差一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。

定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于次的代数多项式都精确成立，而对不能精确成立，则称该求积公式具有次代数精度一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立例1 确定求积公式的代数精度解 从而该求积公式的代数精度为对给定节点，如何选择求积系数使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现1． 2 插值型求积公式对给定求积节点构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值设是关于的Lagrange插值多项式其中为Lagrange基函数取 其中定义2 对给定互异求积节点，若求积系数是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的定理1 数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度证明 假设求积公式（1.2）是插值型的，则上面我们假设了从而当为次数的代数多项时必精确成立，故有注意到多项式的次数为，对=数值求积精确成立，从而即其求积系数由（1．4）给出推论1 对给定求积节点，代精度最高的求积公式是插值型求积公式例2 求插值型求积公式并确定其代数精度从而求积公式为且若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。

推论2 若是插值型求积公式，则有余项公式其中1．3 Newton-Cotes 求积公式在[a,b]上的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称之为Newton-Cotes求积公式设令则求积系数为其中因此，Newton-Cotes公式为 其中 由（1．6）给出求职系数独平于区间[a,b] 称之为Cotes系数Cotes系数可以用（1．6）计算或查（见表4-1）给出 n=1,2 的Newton-Cotes求积是常用公式n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直边梯形的面积来近似曲边梯形面积（图4-1）即 表4-1 （1.8）的Newton-Cotes公式称为Simpson公式: （1.9）Simpson公式的几何意义是用以插值抛物线为曲边的曲边梯形面积来近似为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson求积公式也称为抛物线公式Newton—Cotes公式分别为Simpson法则（公式）和Cotes公式。

1.4 Newton—Cotes求积公式的余项定理２　　若，则梯形公式(1.8)的余项为　　　　　　　　　　　　　 (1.10)证明　　由插值型求积公式的余项得利用在上不变的号，由积分中值定理得定理３　　若，则Simpson公式(1.9)的余项为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1.11)证明　　由例１知Simpson公式的代数的精度为令为的三次Hermite插值多项式，满足插值条件：对多项式，Simpson公式精确成立，即：从而利用上小于等于零，由积分中值定理给出　　　　可以证明，对一般的，只要充分光滑，Newton—Cotes公式的余项为 （n 为奇数）（n为偶数）　　 （1．2）其中例3 用、2、3、4、5 相应的Newton—Cotes公式计算积分解 、2、3、4、5相应Newton—Cotes公式所得积分近似值见表4-2表4-2n积分近似值10.920735420.946145930.946110940.946083050.9460830积分的准确值是0.9460830容易发现的结果比有显著改进，但相比较没有实质性的进展。

对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n是偶数的情形1.5 Newton—Cotes公式的数值稳定性和收敛性求积分式（1.2）的数值稳定性是指的误差对数值积分结果的影响若影响很大，就称该数值求积公式不稳定设的近似值由近似值所得数值积分值为其误差为在的前提下，最大可达一般求积公式对准确成立因此有对Newton-Cotes公式来说， 从而当时，是数值稳定的当时，有正有负，而且有从而高阶Newton-Cotes公式是数值不稳定的我们可以证明，存在上的连续函数，对Newton-Cotes公式来说，不成立即Newton-Cotes公式当时，对连续函数的数值积分不能保证收敛基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes求积人以式，而是采用Gauss型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度§2 Gauss型求积公式2．1最高代数精度求积公式由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同例4 求节点使插值型求积公式 （2.1）具有尽可能高的代数精度。

解 首先有由于是插值型的，其代数精度令，有，及故只要有，就有进一步取，有就有上述方程的解为，对应的求积公式为 对于因此二个节点的求积公式，代数精度最高为 对于任意求积节点，任意求积系数，求积公式的代数精度必小于这是因为对于有 而 是次代数多项式，从而在例4中，这是最高能达到的代数精度了下面我们利用正交多项式的根来构造代数精度能达到最高的求积公式引理1 若是上关于权函数的次正交多项式的根，则插值型求积公式具有代数精度证明 设为任一次数的代数多项式，则有其是和为次数的多项式于是 其中表示与在上带权的内积，由于是次正交多项式，次数小于等于，它们的内积为0，而次数不高于对于插值型求积公式（2.2）有从而对所有次数的代数多项式成立.定义3 个节点的求积公式(2.2)称为Gauss型求积公式,若其代数精度达,即达最高.并称其节点Gauss点.2.2Gauss点与正交多项式的联系利用正交多项式零点作插值型求积公式,可使其代数精度达到最高.下面我们给出Gauss点与正交多项式零点的联系.定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的,当且仅当Gauss点是上关于权的次正交多项式的根.证明 充分性即引理1的结论.下证必要性.置.任取次数的多项式有用内积术语来描述,即对一切次数不高于的代数多项式成立,从而是上关于权的次正交多项式. Gauss点是次正交多项式的根.2.3Gauss求积公式的余项定理5 若,则Gauss求积公式(2.2)的余项为 (2.3)证明 取的Hermite插值多项式，满足插值条件由得得利用由积分中值定理即得式（2．3）。

2．4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性设为Lagrange基函数为次代数理化多项式于是由知Gauss型求积公式是数值稳定的设上关于权的次正交多项式根为，对应的Gauss求积公式为引理2 对于有限闭区间上的任何连续函数有证明 上的连续函数可以用代数多基式一致逼近对任意给定的存在某个多项式，有当时，有从而 上面应用了 及 由的任意性得（2．1）定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对（有限闭区间上的）连续函数，Gauss求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积公值Gauss型求积公式有很多优点，但对一般的权函数，Gauss节点不容易求Gauss求积系数多为无理数，因此不如Newton- Cotes 求积公式的等距节点和Cotes系数当函数赋值计算量大或计算的积公多，这时Gauss型求积公式常被优先选取2．5 几个常用的Gauss型求积公式常用Gauss型求积公式有Gauss-Laguerre 求积公式和Gauss-Laguerre 求积公式等Gauss-Laguerre 求积公式：[-1，1]上关于权的Gauss型求积公式对应的Gauss点和求积系数列在表4-3中表4-31025±±21364 对于一般区间上带权的Gauss权型求积公式，可通过变量变换，由Gauss-Legendre求积公式得到：例5 用二点、三点Gauss型求积公式计算 解 令用二节点、三节点计算结果列在表4-4中。

表4-4与Newton-Cotes公式相比较，近似值要精确得多Gauss-Chebyshev求积公式： Gauss-Laguerre求积公式：表4.5 1116.28994508290.010389256520.58578643763.4142356240.85355339060.146446609440.32254768961.74576110124.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.000539294730.41577455682.29428036030.71109300990.2785177336Gauss-Hermite 求积公式：上关。