光栅(Grating)与棱镜(Prism)-郭艳光.doc

1題目： Diffraction Grating and Prism教授：郭艷光老師學號：8522056姓名：王堯民2前言光柵與稜鏡是兩個在光學實驗中常看見的儀器，且光柵與稜鏡都具有選波的功能，即都能達到分光的效果，此一功能在光學實驗及光學科學上是非常有用的，因為，如此一來，人類即能經由此二種儀器得到任何想要的波長，而得以製造出各種便民的日常用品在以下的報告中，將針對光柵分光原理、光柵常見的儀器和常見類型、光柵的繞射現象、光柵的光譜、光柵的色散和儀器的分辨本領做一些介紹而稜鏡方面，也將介紹其分光原理、常見儀器和常見類型、稜鏡的折射、稜鏡的色散、色散效率等相信在看過此報告後，大家將對光柵與稜鏡有更深入的了解才是 首先，將先介紹大家較為常見且熟知的稜鏡，然後再利用與稜鏡相似的概念來介紹光柵稜鏡(Prism)稜鏡是由兩個或兩個以上的折射平面構成的透明元件，稜鏡的基本功能有二，一種是使光線發生折射；另一種是產生色散效果而市面上常見的稜鏡分光儀，即是利用稜鏡的此兩效果所作成的在下面的報告中，我們將逐一的來了解稜鏡的工作原理一、稜鏡的折射下面我們將只探討光線在兩折射平面和他們的折射稜鏡結面內的折射。

當入射線以入射角 射進稜鏡的第一個折射面(稜鏡的折射率為 n，置於空氣中) ，i應用兩次 Snell’s law 即可求出自第二個折射面射出的出射線，透射光方向與原入射光方向所夾的角度稱為偏向角，以 表之，圖形如下設 為其頂角(為一定值)， i 為其入射角，i’ 為出射角， 表偏向角 由實驗和理論都表明，當改變入射角 時，偏向角 也隨之改變，然而，當出射角與入射角同為某一值時，即入射線與出射線對稜鏡對稱時，偏向角 有一最小值 ，稱為稜鏡的最小偏向角但因為不同波長對稜鏡的折射率不同，所以m對不同波長的光，其偏向角是不同的，故其 值也不同的下面為其數學證明mi 'i12圖一3(方法一)由圖一，可以知， = ，21'i，所以 有 最 小 值0'dii'di同理 ，所以1221由 Snell’s law 得 和 將兩式微分，得insi1 '2sini和 將兩式相除，得dncoscs1'2cocd，所以得有極值時，'2oi ''2sini'i(方法二)將偏向角 表成 與 的函數；同理利用 Snell’s law 可將 ’表為如下ii又 所以，11' sni 1sininsncossi2= ( )- 。

將此式微分 得有極值時，iiico2 'i設 =60 ， n=1.5 ， 入射角 0 09經由計算，可得當 時，偏向角有最小值=37.1832049i 0其偏向角對入射角之函數圖形如下圖(圖二)圖二由圖知道，的確存在一最小偏向角；此時入射角=49 度，最小偏向角=37.183 度另外，也可利用最小偏向角發生時，求出稜鏡折射率簡式如下  2sin 2sini sin2 min1m111  im以上為對光進入稜鏡後所發生折射現象的討論！二、稜鏡的色散(一)一般情形4由於不同波長的入射光，在稜鏡內其折射率不同，故其所產生的偏向角是不相同的，所以，稜鏡的這種因波長而改變偏向角的現象，叫做稜鏡的色散而此即為稜鏡的分光原理設 D 表示稜鏡的色散， 表示偏向角， 表入射光的波長，則稜鏡的角色散 D 定義為 D 在經由計算可得 d，此事表明，D 值雖不能直接求出，但可經 和 ，而dni'' dni'間接得到其中 經計算可得如下結論， = 式中 如前述ni' dni' 1cos'i1i'而 Cauchy(1789-1857)為了表示透明體的折射率 n 和入射光的波長之間的關係，建立了一個實驗公式 ，式中 都是常數，其值.420CBnC. B0與透明體的性質有關。

在不作精密測試時，Cauchy 公式可以用近似公式代替，即 ，所以， = 其中負號表稜鏡折射率 n 因入射光波長20Bnd3變大而變小 所以 D= 由此知，稜鏡角色散 D 取決於 1.2B1cos'in稜鏡的性質(B 值) 2.稜鏡的形狀( 值) 3.入射光波長 4. 入射光方向二)最小偏向角時若稜鏡處於能使光線發生最小偏向的位置，則 D= 可以簡32B1cos'in化以下圖解釋之(圖三)由圖知入射稜鏡的平行光柱寬度為 a=P’Q’cosi’ 又 R’Q’=P’Q’sin ，所以，2P’Q’= ，式中 ’-PP’= t，叫做稜鏡的有效厚度當入射光柱的寬度照2sin''PQ射稜鏡第一表面的全部時，則有效厚度 t 等於稜鏡底面寬故將 t 代入前式得aP P’Q Q’R R’'i圖三5，所以 D= = 一般只考慮 D 絕對值的大小，2sin'cota32B1cos'in32aBt即在最小偏向的情況下，稜鏡角色散的公式是 D= 上式表明，稜鏡產生32at色散的數值不僅和二譜線波長差有關，而且也和本身波長的數值有關不同波長區域裡具有相同波長差的二譜線，通過同一稜鏡所產生的色散是不相同的。

三、稜鏡的色散效率從歷史發展而言，Fraunhofer(1814)發現在太陽光譜內有暗線存在，成因是由於從太陽內層發射出的連續光譜，被周圍較冷的氣體所吸收的緣故，最早是以三條光譜線，稱為 Fraunhofer 譜線來定義色散效率此三條光譜線以 C. D. F 來表示分別由 H. Na. H 元素所吸收產生之譜線下表為一些資料表一 )譜線 吸收元素 波長( )0A 在 crown glass 之 n 在 flint glass 之 nC(紅色) H 6563 1.52042 1.57208D(黃色) Na 5892 1.52300 1.57600F(藍色) H4861 1.52933 1.58606定義色散效率 V= ，效率愈大，色散效果愈好，稜鏡分光效果較佳1dcfn而色散率 ，此值與製造光學玻璃有關( 之間) V 602其中 Crown 和 Flint 玻璃為常用製造稜鏡的材質 四、稜鏡的分辨本領剛好分辨開雙重線所需要的分光儀器的分辨本領為 ， 為剛能分R辨的雙重線的波長差， 為平均波長。

例如鈉雙重線的波長為 5896 和0A5890 ，所以分辨開鈉雙重線的最小分辨本領為 R=5893/6=982如果分光儀器0A的分辨本領小於 982，那麼這個分光儀器僅能看出一條譜線若大於 982，通過這個分光儀器便可分辨得開鈉雙線，並且分辨本領愈大，這兩譜線就分辨得越清楚圖四示出從光源發出的雙重線是沿著最小偏向的方向入射稜鏡的，因為雙重線的波長差很小，所以對於一譜線來說是沿著最小偏向角的方向入射稜鏡，7對於另一譜線，也很接近於最小偏向的方向因此從稜鏡透射的二光柱(相當於雙重線的二譜線，在圖中以虛線和實線示之)的寬度都等於入射光柱的寬度 a8設 這兩透射光柱的角間隔，在稜鏡恰能分辨這雙重線的情況下， 最小'i 'i分辨角，則， ，所以稜鏡的分辨本領 = =aD'iaR'ia即稜鏡的分辨本領等於入射光柱的寬度 a 和稜鏡角色散 D 的乘積當稜鏡的表面完全被入射光柱照滿時，入射光柱的寬度 a 和稜鏡表面(第一面或第二面)的寬度 l 之間的關係為 a = l cosi’，又 D= (在最小偏向角時)，所以 32Bt=aD= = 此式表明，對一定材料製成的稜鏡，分辨本領和稜R32Btdn鏡的有效厚度成正比。

五、不規則色散我們知道稜鏡的材質和入射光的波長長短都會影響折射率，且一般色散時，若以白光射入稜鏡，對於大多數材質，折射率隨波長減短而增加，波長愈短，增加愈快，故色散時以紅光到紫光有順序排列，以紫光偏向最大但某些物質如氰藍與洋紅，顏色極深，對某些較長波折射率其反而大於某些較短波之折射率若使用熔融之氰藍為材質壓入兩片傾角極小之玻璃片而成為一稜鏡，則通過此稜鏡所見之白光光譜之色散順序為綠、藍、紅、橙，以綠色偏向最小，黃色則完全被吸收此一效果稱之為不規則色散六、與稜鏡有關的儀器及常見的稜鏡(一)稜鏡攝譜儀 與稜鏡有關的儀器很多，在日常生活中有許多物品，如望遠鏡和潛望鏡等等在此強調稜鏡的分光功能，故介紹一常見的稜鏡攝譜儀，稜鏡攝譜儀的裝置如圖五所示 a aal'i'i圖四9L K A S1S L2 L1圖五其中 S1 是狹縫， K 是裝有透鏡 L1 的平行光管，A 是稜鏡，L2 是物鏡，光譜成在 L2 的後焦面上。

光源 S 發出的光通過透鏡 L 照射在狹縫 S1 上，平行光管的作用是產生平行光柱入射到稜鏡上設狹縫為某一單色光(如波長為 1 的紅光)所照射，那麼稜鏡只是使光線偏轉後，再經透鏡 L2 在其後焦面上產生狹縫的像SR如果用另一波長的單色光(如波長為 2 的紫光 )來照射狹縫，那麼稜鏡將使光線偏折的更顯著，經透鏡 L2 在其後焦面形成狹縫的另一個像 SV如果光源包含有一系列不同波長的單色光，那麼光譜將由一系列單個的亮線所組成，其中每一個亮線都是狹縫對應於各個波長的光的像，這些亮線叫線光譜同理，若用白光照射狹縫，不同顏色的狹縫像一個接一個地排列起來，產生一個連續的有各種顏色的彩帶，就成為連續光譜但我們知道，不同材質對不同波長的光可能會有吸收的情況發生，如果用來研究可見光及較近的紅外區域的光譜，攝譜儀的透鏡和稜鏡是由玻璃製成的因為玻璃對紫外線吸收強烈，所以用來研究紫外區域的光譜，要使用石英透鏡和稜鏡在上述內容中，已對的稜鏡攝譜儀的色散做了定量描述，此處再說明線色散的意義雖然在大多數攝譜儀中，稜鏡都是放在最小偏向角的位置上，但底片上各不同波長的光譜線之間的距離卻是隨著 L2 的焦距 而變的因此，我們'f定義 為攝譜儀的線色散 (其中 D 為稜鏡的角色散)。

''Dfdl若知兩波長間隔為 ，則兩波長光譜線之間的距離為，式中 為該二波長光線偏向角之差，即二''ffl 射出光線間所夾的角度二)常見的稜鏡稜鏡的種類繁雜，而其功能也各異，以下介紹幾種常見之稜鏡1.直角稜鏡：這是用來將光線的路徑改變 90 度的光學儀器圖六中可看到入射光垂直於鏡面，碰到斜邊時之入射角為 45 度，因為這個角度已大於臨界角，光線便10全反射了，從稜鏡的第三面射出時，方向已改變了 90 度2.斜方形稜鏡：這種稜鏡是用來移動光線的軸使其方向不改變，而且不致倒置或反轉像圖七為一斜方形稜鏡 3.消色差稜鏡：有時候我們需要一複合稜鏡使光線偏向而不產生色散差，此種消色差稜鏡可由兩片具有相同色散之稜鏡合成，如圖八令一片稜鏡之底與另一稜鏡之頂脊相接，其所消色差之兩色光於射出時成平行4.定偏向稜鏡：由兩片 30 度稜鏡及一片 90 度反射稜鏡所組成但實際上是一塊整體其特色為入射角恆等於出射角，且入射線與出射線之夾角恆為 90 度所以任何光線經定偏向稜鏡，恆有最小偏向角=90 度綜合上述，大家都應該已經對稜鏡的功能，如稜鏡的折射、稜鏡的色散和不規則色散，以及稜鏡分光儀等，不管是定量或定性都有了初步的了解。

接下來，我們將討論功能與稜鏡相似的繞射光柵入射光反射光圖六入射光反射光圖七白光紅光藍光圖八4560圖九11光柵(Diffraction Grati。