线性代数修订版 董晓波3.3向量组及其线性组合.ppt

向量组及其线性组合,§ 3.3,分量至少有一个为复数的向量称为复向量,分量全为实数的向量称为实向量,第 个数 称为第 个分量.,3.3.1 维向量,例如：,,,维实向量,维复向量,一般只讨论实向量,这 个数排成一列称为 维列向量，记为,为书写方便，列向量可以写为,这 个数排成一行称为 维行向量，记为,（1）按照定义， 维列向量和 维行向量是相同的向量，但从矩阵的角度看是不同的，通常总看作是不同的向量.,（2）以后不加特别说明，一般都指列向量.,（3）常用小写希腊字母 来表示，有时也,用 等拉丁字母表示.,注意,（4）行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.,向量的运算和性质,设 是实数，,为 维向量，则有:,（2）加法运算：,减法运算：,（4）加法交换律,加法结合律,（5）数乘分配律,（3）数乘向量：,例 设,（1）求,解 （1）,（2）因为,所以,3.3.2 向量组,例如,定义 由维数相同的列向量（行向量）所组成的集合,称为向量组．,是由四个四维列向量组成的向量组.,向量组,三维向量空间,维向量空间,例如,表示 个未知数 个方程,的线性方程组 的所有 维解向量构成的,向量组，也称为解空间，它可能只含有一个零,向量，也可能含有无穷多个向量.,注 向量组中的向量个数可以是有限也可以是,无限. 如果没有特别说明，仅讨论向量个数有限,的向量组.,定义,,矩阵 的每列元素构成一个 维,列向量. 矩阵 共构成 个 维列向量,,向量组 称为矩阵 的列向量组.,,,同样，,矩阵 共构成 个 维行向量,向量组 称为矩阵 的行向量组.,,,,,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,个 维列向量组成的向量组,可以构成一个 矩阵,个 维列向量组成的向量组,可以构成一个 矩阵,定义中的矩阵和含有限个向量的向量组之间,以后对于含有限个向量的向量组 ，,一般称为向量组 ： ，,它所构成的矩阵称为矩阵 .,存在一一对应的关系.,3.3.3 向量组的线性组合,称向量,使,为向量组 的一个线性组合，,称为这个线性组合的系数.,则称向量 能由向量组 线性表示（或线性表出）,例如,或者说 是 的线性组合.,又,不能由 线性表示，,或者说 不能写成 的线性组合.,例如,的线性组合.,因为总有,,维单位坐标向量组,定理,问题: 如何判断向量可否由向量组线性表示?,向量 能由向量组 线性表示的,的秩.,证明,由定义，若向量 能由向量组,,,,有解,线性表示的问题等价地转化为线性方程组的求解问题,例,证明向量 能由向量组 线性表示，并写出表达式 .,已知3个向量,解,可见,所以向量 能由向量组 线性表示.,设,由上面 等价于行最简形矩阵知，以 为增广,矩阵的线性方程组 与行最简形矩阵对应的,线性方程组同解，因此取,则,定义,若向量组 中的每一个向量都能由向量组 线性表示，,则称向量组 能由向量组 线性表示.,若同时向量组 与向量组 能相互线性表示，,则称这两个向量组等价.,定理,则向量组 能由向量组 线性表示的充要条件是矩阵,对应的矩阵分别为 和,的秩等于矩阵,的秩，即,等价的充要条件是,推论1,其中,线性表示，则,推论2,其中,下述四个命题等价：,（1） 向量 能由向量组 线性表示 ；,（2）线性方程组 有解；,（4）矩阵 与矩阵,的秩相等.,下述四个命题等价：,线性表示；,（2）方程 有解，其中,等价；,（4）,例,证明：向量 与向量组 等价.,设,证明,设,只需证明,将矩阵 化成行阶梯形：,,将后3列单独化成行阶梯形矩阵,,从而,例,设 是由 个向量构成的 维向量组，,证明： 维单位坐标向量组能由向量组,线性表示的充要条件是 其中，,为 矩阵.,又因为 只有 行，所以,这样就有,即,证明,向量组 能由向量组 线性,表示的充要条件是 而,。