数学建模与合理计税问题.doc

合理计税问题摘要本方案是解决个人年纳税额最小且年收入分配（月工资与年终奖的分配）最优问题其关键是在年收入一定的情况下，如何分配每月工资与年终一次性奖金，从而达到纳税总额最小的目的根据问题给出的每月工资应纳税计算方案以及一次性奖金纳税计算方案，得到了一个年纳税金最小的优化模型结合此数学模型，运用 matlab 编程，得出最优解（见表1、表2） 显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时，表1才最佳选择，因为当A 一定时，表1中对应的纳税额比表2中对应的纳额金小，有时很明显，从而建立年纳税额最小且年收入分配最优方案再结合此方案充分分析该单位职工纳税的规律与特点，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配对于问题1, 根据已建立的数学模型为表中5名职工制定合理的发放方案见正文表 3；对于问题2，通过分析该单位职工纳税的规律与特点，发放方案选择的要点在于更具自己的实际情况合理选择具体分析见正文对于问题3，根据我国目前个人所得税制度中对分级税率和税级距的设定，通过数字模拟的方法计算合理的个税起征点同时考虑到个税起点与劳动就业率、社会公平以及社会福利水平的相互关系，根据统计数据估算出我国城镇居民工薪收入分布函数，最终计算得出个税起征点为2800元到3200元。

关键词：年纳税额最小 收入分配最优 最佳选择 税率和税级距 收入分布函数 个税起征点一、 问题重述便税收作为国家经济杠杆之一，具有调节收入分配、促进资源配置、促进经济增长的作用 纳税是国家财政收入的主要来源，按照国家的税收制度交纳个人所得税是我们每个公民应尽的职责现行的个人所得税率如表 1：表 1：个人所得税率表（工资、薪金所得适用）级数 含税级距 税率(%) 速算扣除 数 说明1 不超过 500 元的 5 02 超过 500 元至 2,000 元的部分 10 253 超过 2,000 元至 5,000 元的部分 15 1254 超过 5,000 元至 20,000 元的部分 20 3755 超过 20,000 元至 40,000 元的部分 25 13756 超过 40,000 元至 60,000 元的部分 30 33757 超过 60,000 元至 80,000 元的部分 35 63758超过 80,000 元至 100,000 元的部分 40 103759 超过 100,000 元的部分 45 15375本表含税级距指以每月收入额减除费用 2000 元后的余额即现行的个人所得税的起征点是 2000 元。

现考虑某事业单位的个人所得税的计算问题已知该单位职工的年收入是由每月的工资、每月的岗位津贴、年末一次性奖金三部分组成根据国家政策，每月的工资和津贴之和按照上表的税率交税，而年末一次性奖金则单独计税，按照除以 12 再找表中税率最后减去速算扣除数的办法执行，比如某人的每月工资是 1500 元，每月岗位津贴 2300 元，年末 1 次性奖金是 10000 元，则一年中应缴纳的个人所得税累计为（因为 10000/12≈833.3，故一次性适用税率为10%）：（500×5%+1300×10%）×12+10000×10%-25=2835 元在实际的执行过程中，每月的岗位津贴和年末一次性奖金实际上是放在一起结算给个人的，而具体每月发放多少岗位津贴和年末一次性发放多少奖金可以由职工本人在年初根据自己的需要进行选择显然，不同的选择发放方式所缴纳的税是不同的，这就产生一个合理计税的问题假定该事业单位一年中的津贴与奖金之和的上限是 75000 元，试解决下面三个问题：（1） 建立合理计税的数学模型，并为下列 5 名职工制定合理的发放方案职工编号 每月应税 工资 津贴与奖 金总数每月岗位津贴发放数年末一次性奖金个人所得税1 984 390302 806 483403 1201 319904 1409 567605 1504 26670（2）充分分析该单位职工纳税的规律与特点，然后写一篇不超过 800 字的通俗短文，谈谈发放方案选择的要点以便于该单位的所有职工都能得到很好的指导。

3）2011 年 3 月 1 日的国务院常务会议上，原则通过了个人所得税法修正案草案，并确定了提高个人所得税起征点，以及调整级次级距的改革方向目前该草案正报全国人大常委会审议尚未正式发布现在请你结合当前我国公民的个人情况建立你认为合理的个税起征点模型并给出结果二、 模型假设（1）假设公司允许自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额；（2）假设每月工资一定；（3）假设起征点调整以后，收入分布函数是固定不变的；（4）假设收入分布的概率密度函数为 ；（5）假设起征点调整变化前后的税前工薪收入分布保持不变；（6）假设有三类参与者：工人、厂商和政府；三、 符号说明（1） 、A —— 年总收入（2） 、x —— 每月工资；（3） 、y —— 年终一次性奖金；（4） 、f(x) —— 一年工资应纳税额；（5） 、f(y) —— 年终一次性奖金应纳税额；（6） 、F(x) —— 一年应纳税总额；（7） 、 ——起征点（8） 、 ——税前收入（9） 、 ——工人的生产率（10） ——补贴额（11） 、 —— 的分布密度函数（12） 、 ——类型为 的就业机会成本（13） 、 ——类型为 的工作岗位提供的工资（14） 、 ——工人得到的效用（15） 、 ——工人人数（16） 、 ——就业率（17） 、 ——厂商提供的职位数量（18） 、 ——应缴税额（19） 、 ——工薪收入分布参数（20） 、 ——风险规避系数四、 数据准备根据《中国城市（镇）生活与价格年鉴》 （2005、2006、2007）中“按收入等级分城镇居民家庭情况”的数据，估计了2005、2006和2007年城镇居民工薪收入分布情况，如图1所示。

2005、2006、和2007年三年我国城镇工薪收入分布的参数 依次是五、 问题一的模型建立与求解第一步：建立模型根据每月工资应纳税计算方案，对于问题1、2，我们建立一个以每月工资 x为自变量，一年工资总税额为因变量的分段函数 f(x)同理，根据一次性奖金纳税计算方案，建立一次性年终奖税额对年终奖 y 的分段函数 f(y) 要使得年纳税总额最小，即 f(x)+f(y)最小，又需满足12x+y=A.所以可建立模型（1）： )];(min[yfx(1).0,,12YXAy式(1)为年纳税金最小优化模型要求式(1)的最优值可利用模拟仿真的方法若 A 为常数，每确定一个 x 值，则有唯一的 y 值与之对应来满足条件.由于数据量庞大，难以求解，不妨取 ， ；据工资应20x260y纳税计算方案和年终一次性奖金纳税计算方案有：(2)]375)20%([115)(0)(xxf ;2074;5;20xx(3)375%201250)(yyf .20150;520155)(yy再由 12x+y=A,式(2)和(3)可以得到：当 时，x(4)752.0.41.65.2.015..)(AxxAF .16201520;6180120;8AxAxA当 时，20 (5) 3752.04.1.8.125.0..6.)(AxxAF .5012201;5A501201;5Axx第二步：模型求解对于式(4)及(5)，我们可用 matlab 编程求解，其程序见最后附录从两表对比下，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配.对于问题1, 5名职工制定合理的发放方案如下表职工编号 每月应税 工资 津贴与奖 金总数每月岗位津贴发放数年末一次性奖金个人所得税1 984 39030 2752.5 6000 650.252 806 48340 3527.8 6006.4 704.173 1201 31990 2166 5998 682.84 1409 56760 4230 6000 934.55 1504 26670 2055.8 2000.4 227.9六、 问题二的求解显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时，表1才最佳选择，因为当 A 一定时，表1中对应的纳税额比表1中对应的纳额金小，有时很明显。

所以对表1进行分析，不难看出其中的规律：当工人年收入低于3000时，选择在自己的月工资在2000附近，自己的年终奖金尽量少，此时工人缴纳的个人所得税最少；当工人的年收入在30000——54000范围内时，选择自己的年终奖金为6000时，所交的个人所得税最少；当工人的年收入在55000——129000范围内时，选择自己的年终奖金为24000时，所交的个人所得税最少；当工人的年收入在130000——144000范围内时，选择自己的年终奖金为46000时，所交的个人所得税最少；当工人的年收入在145000——150000范围内时，选择自己的年终奖金为60000时，所交的个人所得税最少当工人的年收入在150000以上时，根据自己的实际情况来选择七、 问题三的模型建立与求解第一步：建立模型（一） 、设起征点用 表示，工人的税前收入用 表示则收入在 区间内的工人所缴税额为： ，收入在 区间内的工人所交个税为：收入的分档点分别为：5% 10% 15% 20% 25%30% 35% 40% 45%（二） 、工人类型的差异引起生产率不同,假设生产率为 ，分布密度为其中 ，且 可支配收入为 x 的工人得到的效用为：（1）其中 为风险规避系数厂家给出的成本 与长处能力 的比例关系为：（2）（三） 、厂商与工人匹配关系厂商提供一个类型为 的就业机会成本为 ，匹配成功厂商获得利润为： （四） 、政府、工人和厂商之间的博弈过程（1） 、府制定税收政策，在本模型中就是确定的一个个税起征点（2） 、厂商提供工作职位，工人决定是否去寻找工作（3） 、工人和空缺岗位的匹配开始：若匹配成功，工人工作，双方经谈判确定该工作岗位的工资水平，政府按照税收政策对收入水平大于其正点的工人进行征税；如果匹配失败，该部分工人状态为失业，将接受政府的补贴。

4） 、政府用征税的个人所得税去对不去找工作的人和找工作没有成功匹配的人进行补贴，并且满足预算约束，将接受政府的补贴我们将依照上述各个步骤分别讨论政府的最优化问题、工作岗位的匹配过程和工资率的确定1、政府的行为政府的目标是社会总福利最大化，当工人的类型 小于补贴值 时，工人不寻找工作，的到 ，当工人的类型 大于补贴值 时，工人寻找工作如果匹配成功，工人可支配收入为工资 减去应缴税额 ，则社会总福利可示为：（3）政府的预算约束为：（4）所以政府的最优化问题就是找到一个合理的计税起点 ，使得在满足（4）的预算约束时，社会福利水平（即（3）式）达到最大2、工人和工作岗位的匹配过程按照前人的文献（见 Blanchard and Diamond,1989或 Pissarides,2001）,假设一个匹配，工人数量 ，职位数量 ，于是有：（5）若 类型的人去找工作，则， （ ）对厂商来说，提供一个职位的期望回报为：如果假设厂商为风险，且可自由进入市场和设置工作岗位，则均衡时厂商的期望利润为0，即：，则有推出： （6）3、确定工资水平的讨价还价过程工资的确定是一个讨价还价过程，参与的双方为厂商和工人，他们按照谈判能力分配剩余：当匹配成功时双方的剩余是： 当匹配失败时工厂一无所得，工人得到补贴：当 时，双方博弈结果取得最大 ： （7）其中 表示工人的谈判能力， 是指厂商的谈判能力。

第二步：模型的分析与求解（一） 、改变起征点 的影响1、起征点 变化与补贴额 的关系补贴额的大小取决于三方博弈的结果，求得的解应满足：Ａ、 政府的预算约束。