2023年考研数学三真题及答案.docx

2023年考研数学三真题一、选择题〔1~8小题，每题4分，共32分以下媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕(1) 当x→0时，fx=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，那么(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=-4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=-4【答案】C解析】【方法一】limx→03sinx-sin3xcxk=limx→03cosx-3cos3xckxk-1 (洛必达法那么)=3limx→0-sinx+3sin3xck(k-1)xk-2 (洛必达法那么)=1c(limx→0-sinx2x+limx→03sin3x2x) (k=3)=1c-12+92=1由此得c=4方法二】由泰勒公式知sinx=x-x33!+o(x3)sin3x=3x-3x33!+ o(x3)那么fx=3sinx-sin3x=3x-x32-3x+3x33!+ o(x3)=4x3+ ox3~4x3 (x→0)故k=3,c=4方法三】limx→03sinx-sin3xcxk=limx→03sinx-3x+3x-sin3xcxk=1climx→03sinx-xxk+limx→03x-sin3xxk=1climx→03∙(-16x3)xk+limx→016(3x)3xk =1c-12+92 (k=3)=82c=1 故c=4综上所述，此题正确答案是C。

考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比拟，极限的四那么运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法那么(2) f(x)在x=0处可导，且f0=0,那么limx→0x2fx-2f(x3)x3=(A)-2f'(0) (B)-f'(0)(C) f'(0) (D)0【答案】B解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x2fx-x2f0-2fx3+2f(0)x3=limx→0fx-f0x-2fx3-f(0)x3=f'0-2f'0=-f'(0)【方法二】拆项用导数定义limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0fxx-2limx→0fx3x3由于f0=0，由导数定义知limx→0fxx=f'0, limx→0fx3x3=f'(0)所以limx→0x2fx-2f(x3)x3=f'0-2f'0=-f'(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数fx=x,那么limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x3-2x3x3=-1而对于fx=x.f'0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，那么fx=f0+f'0x+ox=f'0x+o(x)fx3=f'0x3+o(x3)limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x2[f'0x+o(x)]-2[f'0x3+o(x3)]x3=f'0-2f'0=-f'(0)综上所述，此题正确答案是B。

考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四那么运算(3) 设{un}是数列，那么以下命题正确的是(A) 假设n=1∞un收敛，那么n=1∞(u2n-1+u2n)收敛B) 假设n=1∞(u2n-1+u2n)收敛，那么n=1∞un收敛C) 假设n=1∞un收敛，那么n=1∞(u2n-1-u2n)收敛D) 假设n=1∞(u2n-1-u2n)收敛，那么n=1∞un收敛答案】A解析】假设n=1∞un收敛，那么该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，此题正确答案是A考点】高等数学—无穷级数—级数的根本性质与收敛的必要条件(4) 设I=0π4lnsinxdx,J=0π4lncotxdx,K=0π4lncosxdx,那么I,J,K的大小关系为(A) I

考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和根本性质(5) 设A为3阶矩阵，将A第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行和第3行得单位矩阵，记P1=100110001, P2=100001010,那么A=(A) P1P2(B)P1-1P2(C) P2P1(D)P2P1-1【答案】D解析】此题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意A100110001=B，100001010 B=E从而AP1=B,P2B=E，从而P2(AP1)=E所以A=P2-1EP1-1=P2P1-1【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵(6) 设A为4×3矩阵，η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，那么Ax=β的通解为(A)η2+η32+k1(η2-η1) (B) η2-η32+k1(η2-η1)(C) η2+η32+k1η2-η1+k2(η3-η1)(D) η2-η32+k1η2-η1+k2(η3-η1)【答案】C解析】因为η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，那么η2-η1, η3-η1是Ax=0的2个线性无关的解。

从而n-r(A)≥2即3-r(A)≥2⇒r(A)≤1显然r(A)≥1，因此rA=1由于n-rA=3-1=2知(A),(B)均不正确又Aη2+η32=12Aη2+12Aη3=β，所以η2+η32是方程组Ax=β的解综上所述，此题正确答案是C考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解(7) 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其对应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，那么必为概率密度的是(A) f1(x) f2(x)(B)2f2(x) F1(x)(C) f1(x)F2(x) (D) f1xF2x+f2(x) F1(x)【答案】D解析】判断函数f(x)是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：(1) f(x)满足是概率密度的充要条件 f(x)≥0和-∞+∞f(x)dx=1(2)fx=F'(x)或者-∞xf(x)dx=F(x),而F(x)为分布函数由于F1(x)与F2(x)为两个分布函数，显然F1(x) F2(x)也是分布函数，而F1xF2x'=f1xF2x+f2(x) F1(x)综上所述，此题正确答案是D。

考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度(8) 设总体X的服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，X1,X2,⋯Xn(n≥2)为来自该总体的简单随机样本，那么对于统计量T1=1ni=1nXi和T2=1n-1i=1n-1Xi+1nXn,有(A)ET1>ET2,DT1>DT2 (B)ET1>ET2,DT1DT2 (D) ET1

考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四那么运算(10) 设函数z=(1+xy)xy,那么dz(1,1)=答案】2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy解析】由z=(1+xy)xy，可得∂z∂x=exyln⁡(1+xy)1yln1+xy+xy2+11+xy=(1+xy)xy[1yln1+xy+xy1x+y]∂z∂y=exyln⁡(1+xy)[-xy2ln1+xy-xy11+xyxy2]=-1+xyxyxy2[ln1+xy+xx+y]所以dz(1,1)=∂z∂x(1,1)dx+∂z∂y(1,1)dy=2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy综上所述，此题正确答案是2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算(11) 曲线tan⁡(x+y+π4)=ey在点(0,0)处的切线方程为答案】y=-2x解析】方程tan⁡(x+y+π4)=ey两端对x求导得sec2x+y+π41+y'=eyy'将x=0,y=0代入上式，y'=-2故所求切线方程为y=-2x【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线(12) 曲线y=x2-1,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为。

答案】4π3【解析】由旋转体公式得V=π12y2dx=π12x2-1dx=π(13x3-x)12=4π3综上所述，此题正确答案是4π3考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用(13) 设二次型fx1,x2,x3=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，那么f在正交变换x=Qy下的标准形为答案】3y12【解析】A的各行元素之和为3，即a11+a12+a13=3a21+a22+a23=3a31+a32+a33=3⇒a11a12a13a21a22a23a31a32a33111=333A111=3111所以λ=3是A的一个特征值再由二次型xTAx的秩为1⇒rA=1⇒ λ=0是A的2重特征值因此正交变换下标准形为3y12综上所述，此题正确答案是3y12考点】线性代数—二次型—二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形(14) 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(μ,σ2;μ,σ2;0)，那么EXY2=答案】μσ2+μ3解析】(X,Y)服从正态分布N(μ,σ2;μ,σ2;0)所以X与Y相互独立，且EX=EY=μ, 。