一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法.docx

课题：一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目标：1 .稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2 .培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3 .激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法难点：正确串根过程：一、复习引入1. 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2. 一元二次不等式的解法步骤引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法二、新课1. 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式(x+4)(x-l)<0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法那么可知，假设原不等式成立，那么左边两个因式必须异号，.♦•原不等式的解集是下面两个不等式组：f一1>°与尸一1<°[x+4<0[x+4>0的解集的并集,即>}U{xlV)=4)U{xk40书写时可按以下格式：痴fx-1>0fx-1<0解二：V(x-l)(x+4)<0<=><^或〈[x+4<0[x+4>0<=>x£小或-4vxv1<=>-40(或ax2+bx+c<0)(a^0)的代数解法：设一元二次不等式+bx+c>0(aHO)相应的方程+bx+c=O(nHO)的两根为修、工2且为<工2，那么+C>0<=>«(X-%1XX-%2)>0；①假设。

>0,则得1 或,x - <0, x- x9 > 0.・ 4 I 1=>X两,X> X2.word 版当的<工2时，得xM；当项=必时.，得xeH,且xHX].②假设<0,则得Xf<0,或 x-x2 >0,x-X] < 0,x-x2> 0.XX2,x> x2.当X]<工2时,得X]vxv工2；当X1=%2时，得X£0.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-l)(x+4)=0,解得x(从小到大排列)分别为Y,1,这两根将X轴分为三局部：(-8,-4)(-4,1)(1,+8)；②分析这三局部中原不等式左边各因式的符号1-s,-4)(41)(1,+8)x+4—++X-1-一+(x-l)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是｛xl-40；解：①检查各因式中X的符号均正；②求得相应方程的根为：-2,1,3；③列表如下：-213x+2—+++X-1—・++x-3-一+各因式积—+-+④由上表可知，原不等式的解集为：{xl-2vx3}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(X-XI)(X-X2)…(X-Xn)>0(〈0)形式(各项X的符号化,令(X-X|)(X-X2)-(X-Xn)=0,求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把(实数)数轴分成两局部，n个分界点把数轴分成n+1局部……；②按各根把实数分成的n+1局部，山小到大横向排列，相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开场依次自上而下排列)；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.{xl-l0.直接写出解集：{xl-2vxvl或x>3}.3-1<*<0或2<*<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解，称之为串根法①将不等式化为(X-X|)(X-X2)…(X-Xn)>0(〈0)形式,并将各因式X的系数化';(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？);④假设不等式(X的系数化“+〃后)是,那么找“线〃在x轴上方的区间；假设不等式是“<0”,那么找"线”在X轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1,2,3(注意：2是二重根，3是三重根)；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开场)，如以下列图：④，原不等式的解集为：{xl-1vxv2或20.Jx-3<0]…:一-<0<=>^或<<=>xe6或一70•••原不等式的解集是{xl-7<(x-3)(x + 7) < 0x + 7 W 0<=>-7

卜f一3K2)(i-2一)K厂-2工-3-2工-3002)(x-3)(x+1)<0(x-3)(x+l)^0',原不等式的解集为{xl-lvxVl或2«x<3}.练习：1.课本P21练习:3(1X2)；2.解不等式士口>2.x+5答案：l.(l){xl-5-l/2}；2.{xl-130(或4*<0)的形g(x)g(x)式,转化为：产)")>°(或*)g(x)<°),即转化g(x)工0[g(x)工0为一次、二次或特殊高次不等式形式.3 .一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4 .注意必要的讨论.5 .一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.四、布置作业五、思考题：1 .解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：①将二次项系数化"+”(x2-x-12)(x+a)>0,②相应方程的根为：-3,4,-a,现a的位置不定，应如何解？③讨论：i当-a>4,即av-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：・ 一一~~J.一?^^34-ax・ •・原不等式的解集为{xl-3vxv4或x>-a}.ii当-3v-av4,即-4va<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下:A^-3-a—4x・ •・原不等式的解集为{xl-女xv-a或x>4}.iii当-av-3,即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：4x，原不等式的解集为{xl-avxv-3或x>4}.iv。

当-a=4,即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：・ ・・原不等式的解集为{xlx>-3}.v当-a=-3,即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下:•••原不等式的解集为{xlx>4}.2.假设不等式2'）<1对于x取任何实数均成立，求k的取值X4r+6x+3围.（提示：4x?+6x+3恒正）（答：l