小题押题练(四)一、选择题1．(2018湖州模拟)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( )A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i解析：选D 由已知可得z＝＝＝3＋4i，故选D.2．(2018贵阳模拟)设集合A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，B＝，则A∪B＝( )A．(－2,1) B．(－2,3)C．(－1,3) D．(－1,1)解析：选B A＝{x|－20，＝，解得m＝2，所以双曲线C：－＝1，设M(x0，y0)，则－＝1，因为＝0，所以x＋y＝10，故y0＝，x0＝，所以满足条件的点M共有四个，构成一个矩形，长为，宽为，故面积为.8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120的三角形，则双曲线C的离心率为( )A. B．C. D.解析：选B 设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，则∠F1AF2＝120，得＝tan 60，即c＝b，a＝b，所以双曲线C的离心率e＝.9．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A．4－ B．8－C．8－π D．8－2π解析：选C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为(π12)2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.10．(2018西安三模)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的( )A．外心 B．内心C．重心 D．垂心解析：选C 设BC的中点为D，则由＝＋λ(＋)，可得＝λ(＋)＝2λ，所以点P在△ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选C.11．已知三棱锥SABC的每个顶点都在球O的表面上，SA⊥底面ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，且二面角SBCA的正切值为4，则球O的表面积为( )A．240π B．248πC．252π D．272π解析：选D 取BC的中点D，连接SD，AD，易知AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠SDA是二面角SBCA的平面角，于是有tan∠SDA＝4，即SA＝4AD＝4＝4.在△ABC中，sin∠ABC＝＝，由正弦定理得△ABC的外接圆半径r＝＝8. 可将三棱锥SABC补形成一个直三棱柱ABCSB′C′，其中该直三棱柱的底面为△ABC，高为SA＝4，因此三棱锥SABC的外接球的半径R＝＝，因此三棱锥SABC的外接球的表面积为4πR2＝272π，选D.12．(2018武昌模拟)已知函数f(x)＝－kx在区间[e，e]上有两个不同的零点，则实数k的取值范围为( )A. B．C. D.解析：选A 令f(x)＝－kx＝0，则k＝，令g(x)＝，则g′(x)＝′＝，令g′(x)＝0，解得x＝e∈[e，e]．因为当x∈(e，e)时，g′(x)>0，所以g(x)在(e，e)上单调递增；当x∈(e，e)时，g′(x)<0，所以g(x)在(e，e)上单调递减．所以当x＝e时，g(x)取得最大值g(e)＝＝.由题意函数f(x)＝－kx在区间[e，e]上有两个不同的零点，知直线y＝k与g(x)＝的图象在区间[e，e]上有两个不同的交点，又g(e)＝＝，g(e)＝＝，因为<，所以≤k<，故选A.二、填空题13．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为________．解析：f′(x)＝2x－2－＝(x>0)，由f′(x)>0得>0，解得－12，又x>0，∴f′(x)>0的解集为{x|x>2}．答案：(2，＋∞)14．已知圆O：x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为________．解析：设直线l：y＝kx＋b(b≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，kOPkOQ＝＝＝k2＋kb＋＝k2＋kb＋＝，由kOPkOQ＝k2，得＝k2，解得k＝1.答案：115．(2019届高三南宁、柳州联考)若x，y满足约束条件等差数列{an}满足a1＝x，a5＝y，其前n项和为Sn，则S5－S2的最大值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．因为a1＝x，a5＝y，所以公差d＝，S5－S2＝a3＋a4＋a5＝3a4＝3(a5－d)＝x＋y.设z＝x＋y，作出直线x＋y＝0，平移该直线，当该直线经过点B(2,3)时，z取得最大值，即S5－S2的最大值为.答案：16．(2019届高三湘东五校联考)已知f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)cos ωx－，其中ω>0，f(x)的最小正周期为4π.(1)则函数f(x)的单调递增区间是________________；(2)锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2a－c)cos B＝bcos C，则f(A)的取值范围是____________．解析：f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)cos ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin.∵f(x)的最小正周期为4π，∴2ω＝＝，可得f(x)＝sin.(1)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，∴(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，∴2sin Acos B＝sin A，又sin A≠0，∴cos B＝，B＝，∵三角形ABC为锐角三角形，∴∴
