球冠谐分析方法进行球面卫星重力场的向上向下延拓.pdf

球冠谐分析方法进行球面卫星重力场的向上向下延拓尹航王喜臣徐宝慈贾建秀吉林大学地探学院吉林省长春市1 3 0 0 2 6G H a i n e s 于1 9 8 5 年首次提出的适用于在球坐标中求解局部区域拉普拉斯方程边值问题的解法，即球冠谐分析方法，该方法除具有与球谐分析方法一样的优点，即具有坚实的物理基础；满足位理论的物理限制，进行球冠谐分析外，亦能进行位场的向上向下延拓，可方便的表示位场的三维结构：可提取不同波长位场异常，达到分离场的目的它与传统的向上向下延拓方法的区别在于：传统的向上向下延拓方法通常是建立在适应于平面延拓的矩坐标上，而冠谐分析的方法则在较大的区域内，更适用于真实反映地球表面的一个有限区域的球坐标上进行曲面的向上向下延拓因为球谐分析中的M 和N ( 边值问题本征值) 是正整数，而冠谐分析中，则用整阶M 但非整次N k 的缔合勒让德函数来表达球函数的模型在无源区域，重力场可表示为满足拉普拉斯方程的重力位的梯度，在球坐标中，拉普拉斯方程的解为：V = ∑∑W 7 = 口∑( 形) ”1 ∑L g 1 1 1c o s 聊p + 办? s i nm 伊) p ：’( c o sO )( 1 )式中：r 为研究点至地心的距离，a 为地球半径，口为余纬度，c , o 为经度，g ：’与办：’为球谐系数。

实际分析中，本征值m 和，? 是由边界条件决定的，重力位关于精度的连续性要求m 是整数，而位于o ：0 “和o ：1 8 0 ·，处的条件决定胛也是实整数在关于p 的常微分方程中，具有整数的m 和门的解是缔合勒让德多项式p ? ( c o s0 ) 而对地球表面一部分的球冠的边界条件，在经度及纬度p = 0 0 处与全球分析中的相同，但在0 = O o 处边界上，重力位及其导数必须满足V ( r ，O o ，妒) = f ( r ，伊) 型：如缈)0 0⋯7( 2 )( 3 )( 2 ) 式与( 3 ) 式右端项的f 与g 均为与目无关的函数H a i n e s 担¨3 1 已经说明，方程( 2 ) 可以通过选择基函数使得来满足这可以通过决定—c l p ：' ( c —o s O ) ：0 d O( 4 )t t j 根n 来完成，其中m = 0 ，1 ，2 ，3 ，⋯同样，方程( 3 ) 可以通过使基函数r ? ’在球冠的边界上为零来满足也就是通过决定r l 值来完成，即p ：’( c o s 0 ) = 0·6 8 0 ·( 5 )能使方程( 4 ) 和( 5 ) 成立的n 值一般是非整阶的，用‰表示。

这样，对于一个给定的聊值，通过求( 4 ) 式雨( 5 ) 式所决定的两组解，形成了两组基函数每一组基函数在球冠上是正交的，他与传统的球谐分析中勒让德多项式秒= 0 0 到目= 18 0 0 区间上正交相同．但两组基函数之间不正交，这样，重力位可以表示为七 ∑口( ∥加卅1 ( 簖c o s m 6 p + 向? ’s i n m ( p ) p , ' i l ．㈣) ( c o s e )( 6 )m = O( 6 ) 式与( 1 ) 式类似，但( 1 ) 式中n 的求和已由新的角标k 的求和所代替，k 值被用于高斯系数的下角标，聆值由‰( 聊) 所取代，甩+ 1 由／- ／t ( m ) + 1 所取代给定‰和m 值，可以计算p Z ( 肿) ( ．c o s O ) ( 见参考文献) 来完成上式由于重力异常是重力位的梯度，根据g = 一d y ／咖便可得到球冠谐和分析中重力异常的表达式：k ∑( 刀t ( 聊) + 1 ) ( 形) 咖m ( 簖c o s m a p + 榉’s i n m ( p ) p ：I “ ㈣) ( c o s O )( 7 )i n = O其中r 为研究点至地心的距离，a 为地球半径，口为余纬度，缈为经度，g ≯与办：’为球谐系数，此式即为计算不同高度重力异常的基本公式，当r 不同时，亦即实现了不同高度延拓的目的。

由此可见，利用冠谐分析的方法进行球面卫星重力场的向上向下延拓的过程也就是冠谐分析的过程计算方案：首先选定包含我国领域在内的地球球冠半角a 和球冠极点位置及其坐标求解K = K m a x 时及各( k - m ) 值在给定球冠半角0 值时的缔合勒让德函数方程及其导数方程的根N k ( m ) 和相应的各正则化常数值采用我国领域的卫星重力异常值，将各采值点的经纬度坐标转换为球冠坐标计算各点球冠坐标的各阶球冠谐和函数列各点重力异常值的给定阶次的球冠谐和函数展开式方程，解方程求球冠谐和系数由于方程组很大，先求法方程组再求解形成球冠谐和模型根据求得的球冠谐和模型计算各点的不同阶次和不同高度的的球冠谐和重力异常值及剩余异常值将各点球冠坐标转换为地球的经纬度坐标，将经纬度坐标转换等积圆锥投影的平面坐标，由计算机自动绘国境线并将各采样点上球冠谐和重力异常及剩余异常网格化，形成我国领域内各不同阶次，不同高度的的重力异常图参考文献：申宁华王喜臣王光杰等，中国大陆重磁异常场的计算方法及地质解释( p 2 - p l O )吉林科学技术出版社，1 9 9 7·6 8 l·‰∑㈨=矿‰∑脚一I Ig。