2017天津高考理科数学试卷含答案.pdf

第1页（共 8页）2017 天津理【试卷点评】2017 年天津高考数学试卷考点变化不大，题型结构与2016 年相同，从知识结构角度看，试卷考查内容覆盖面广，与往年基本一致与此同时，试卷命题中出现的综合与创新，体现了能力立意的命题思路与稳中求变的命题特点整卷难度分布合理，具有较好的区分度，整体难度与去年相比稍有降低纵观整篇试卷，命题严格按照考试说明与课程标准，双基内容占了相当大的比例，体现了命题人回归教材、突出主干的思路，重视对考生基本数学素养的考查对于此部分题目，只要考生熟练掌握基本概念和定理，就可以轻松得分试卷在知识点选择上与去年相比略有改变，考验学生基础知识掌握的全面性试卷命题风格稳定，试题布局合理，利于考生发挥自身真实水平，具有较好的信度和效度在注重基础和应用的同时，今年天津高考试卷也加强了综合性与创新性的考查，以提高试卷区分度，如第 8 题，主要考查基本初等函数的图象和性质，设问综合了分段函数单调性、函数零点以及图象变换等典型考点，充分考查了考生的数形结合思想与转化化归思想，考验学生的知识理解深度与分析问题解决问题的能力第19 题总的来说需要考生熟练掌握解析几何中常见几何图形性质的代数表达并合理选择参数简化运算，对考生的运算和解题技巧要求较高第20 题设问较为新颖，命题具有一定的抽象性与综合性，需要学生基于三次函数单调性与极值最值的关系进行探索分析，考查函数与方程、分类讨论、转化等数学思想，问题思路环环相扣，逻辑严密，难度较大，充分考验学生的心理素质，具有较好的区分度，体现了高考的选拔性，另外也给优秀学生提供了展示自身能力的平台，也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识的培养2016 年天津理科数学试卷继续稳字当头，平凡问题考查真功夫，没有出现任何偏题怪题，有利于学生考出好成绩，也对中学数学教学回归教材、扎实基础有很好的导向作用一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A1 ，2，6，B2， 4，CxR|1x5 ，则 (AB) C() A2 B1，2，4 C1 ， 2，4，5 D xR|1 x5 【解析】因A1， 2，6， B2 ，4 ，故 AB1，2，4，6，又 CxR| 1x5，故 (AB) C1 ，2，4 2设变量x，y 满足约束条件2xy0，x2y20，x0，y3，则目标函数z xy 的最大值为 () A23B1 C32D 3 【解】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由zxy 得 y xz，作出直线y x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax03 3，选项 D 符合3阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为 24，则输出N 的值为 ( ) 第2页（共 8页）A0 B1 C2 D3 【解析】依次为N8，N7，N6，N2，输出 N2，选 C4设 R，则“| 12| 12”是“ sin 12”的 ( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】法一： 由 | 12| 12，得 0 6，故 sin 12由 sin 12，得762k 62k ，kZ，推不出“ | 12| 12” 故选 A法二： | 12| 12? 0 6? sin 12，而当 sin 12时，取 6，| 612| 412故选 A5已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2若经过 F 和 P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一渐近线，则双曲线的方程为() Ax24y241 Bx28y281 Cx24y281 Dx28y241 【解析】由e2知 ab，且 c2a故双曲线渐近线方程为y x又 kPF400c4c 1，故 c4，则 a2b2c228故双曲线方程为x28y2816已知奇函数f(x)在 R 上是增函数，g(x) xf(x)若 ag(log251)，bg(208)，c g(3)，则 a，b，c 的大小关系为() Aa bcBcbaCbacDb ca【解一】 易知 g(x) xf(x)在 R 上为偶函数， 因奇函数f(x)在 R 上是增函数， 且 f(0)0故 g(x)在(0，) 上是增函数 又 3log2512 208，且 a g(log251)g(log251)，故 g(3)g(log251)g(208)，则 cab法二(特殊化 )取 f(x)x，则 g(x) x2为偶函数且在 (0， ) 上单调递增，又3log251208，从而可得ca b第3页（共 8页）7设函数 f(x)2sin(x )，x R，其中 0，| | 若 f58 2，f1180，且 f(x)的最小正周期大于2 ，则 () A 23， 12B 23， 1112C 13， 1124D 13， 724【解析】因f582，f1180，且 f(x)的最小正周期大于2 ，故 f(x)的最小正周期为4118583 ，故 2323，故 f(x)2sin23x故 2sin23582，得 2k 12，kZ，又 | | ，故取 k0，得 128已知函数f(x)x2 x3，x 1，x2x，x1.设 aR，若关于 x 的不等式f(x)|x2 a| 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 () A4716， 2 B 4716，3916C23， 2 D23，3916【解析】根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示当 x1 时， 若要 f(x)|x2a| 恒成立，结合图象， 只需 x2x3 (x2a)， 即 x2x23 a0，故对于方程x2x23a0， (12)24(3a)0，解得 a4716；当 x1 时，若要 f(x)|x2a| 恒成立，结合图象，只需x2xx2a，即x22xa又x22x2，当且仅当x22x，即 x2 时等号成立，故 a2综上， a 的取值范围是4716，2二填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9已知 aR，i 为虚数单位，若ai2i为实数，则a的值为【解析】ai2i（ai）（ 2 i）（2i）（ 2 i）（2a 1）（ a2）i52a15a25i 为实数，则a25 0，a 210已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为【解析】设正方形的边长为a，则 6a218，即 a23，故外接球直径2R3a3，故 V43 R343 (32)392 11在极坐标系中，直线4 cos( 6) 10 与圆 2sin 的公共点的个数为_第4页（共 8页）【解析】直线为23x2y10，圆为 x2(y1)21，因 d341，故有两个交点12若 a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为 _ 【解】因 a， bR， ab0， 故a44b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab4， 当且仅当a22b2，4ab1ab，即a222，b224时取得等号13在 ABC 中，A60，AB3，AC2，若BD2DC，AE ACAB( R)，且 ADAE 4，则 的值为 _【解析】AB AC3 2 cos 60 3， AD13AB23AC， 则AD AE(13AB23AC) ( ACAB) 23AB AC13AB223AC2 23 313 3223 22113 5 4，解得 31114用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个 (用数字作答 ) 【解析】当不含偶数时，有A45120 个，当含有一个偶数时，有C14C35A44960 个，故这样的四位数共有 1 080 个三解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本小题满分13 分) 在在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c已知 ab，a5，c6，sin B35(1)求 b 和 sin A的值；(2)求 sin(2A4)的值【解析】 (1)在 ABC 中，因为 ab，故由 sin B35，可得 cos B45由已知及余弦定理，有b2a2c22accos B13，故 b13由正弦定理asin Absin B，得 sin Aasin Bb31313故， b 的值为13， sin A 的值为3 1313(2)由(1)及 ac，得 cos A2 1313，故 sin 2A2sin Acos A1213，cos 2A1 2sin2A513故 sin(2A4)sin 2Acos4cos 2Asin47 22616(本小题满分13 分)从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14(1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率【解析】 (1)随机变量 X 的所有可能取值为0， 1，2，3，第5页（共 8页）P(X0)112 113 11414，P(X1)12 113 114 11213 114 112 113141124，P(X2) 112131412 113141213 11414，P(X3)121314124故，随机变量X 的分布列为X 0123P 14112414124随机变量 X 的数学期望E(X)0141112421431241312(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1) P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1) P(Y 1)P(Z0)1411241124141148故，这2 辆车共遇到1 个红灯的概率为114817(本小题满分13 分)如图， 在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC90点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA AC4，AB2(1)求证： MN平面 BDE；(2)求二面角CEMN 的正弦值；(3)已知点 H 在棱 PA 上，且直线NH 与直线 BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长解如图，以 A 为原点，分别以AB，AC，AP方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(0，4，0)， P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2， 2)， M(0，0，1)，N(1，2，0)(1)证明DE(0，2，0)，DB (2，0， 2)设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量， 则n DE0，n DB 0，即2y0，2x2z0.不妨设 z1， 可得 n(1，0，1)又 MN (1，2， 1)，可得 MNn0因为 MN?平面 BDE，故 MN平面 BDE第6页（共 8页）(2)易知 n1 (1，0，0)为平面 CEM 的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面 EMN 的一个法向量，则n2 EM0，n2 MN0，因为 EM(0， 2， 1)，MN(1，2， 1)，故2y1z10，x12y1z10.不妨设 y11，可得 n2(4，1， 2)因此 cosn1，n2n1n2|n1|n2|421，于是 sinn1，n210521故二面角 CEMN 的正弦值为10521(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0，0，h)，进而可得 NH( 1， 2，h)， BE(2，2，2)由已知，得|cosNH，BE|NH，BE|NH|BE|2h2|h25 23721，整理得10h221h80，解得 h85，或 h12故，线段AH 的长为85或1218( 本小题满分13 分) 已知 an 为等差数列，前n 项和为 Sn(nN*)， bn是首项为2 的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4(1)求an和 bn的通项公式；(2)求数列 a2nb2n1的前 n 项和 (nN*)【解析】 (1)设等差数列 an的公差为d，等比数列 bn的公比为q由已知 b2b312，得 b1(2)12，而 b12，故 q2q60又 q0，解得 q2故，。