苏教版二轮专题平面向量.doc

平 面 向 量【高考考情解读】　从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．【知识梳理】1． 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2． 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3． 平面向量的两个充要条件：若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4． 平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.【考点探究】考点一　平面向量的概念及线性运算例1　(1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则向量在上的投影为________．解析　(1)如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.(2)由＋＋＝0，得＋＝.又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC.由||＝||＝2，知△AOC为等边三角形．故在上的投影为||cos∠ACB＝2cos ＝. (1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合． (1)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．(2)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析　(1)∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．∴＋＝3，∴m＝3.(2)方法一　如图，＝1＋1，|1|＝2，|1|＝||＝4，∴＝4＋2.∴λ＋μ＝6.方法二　由＝λ＋μ，两边同乘，得2＝λ·＋0，∴λ＝4.∴＝4＋μ，两边同乘，得·＝4＋μ·，即3＝4＋(－)μ.∴μ＝2.∴λ＋μ＝6.方法三　以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)．即A(1,0)，C(3，)，B(－，)．由＝λ＋μ得，∴.∴λ＋μ＝6.考点二　平面向量的数量积例2　(1)(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．解析　(1)方法一　坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝(，0)·(x,2)＝x.又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)．∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.方法二　用，表示，是关键．设＝x，则＝(x－1).·＝·(＋)＝·(＋x)＝x2＝2x，又∵·＝，∴2x＝，∴x＝.∴＝＋＝＋.∴·＝(＋)·＝＝2＋2＝×2＋×4＝.(2)方法一　由题意知a2＝b2＝c2＝1，又a·b＝0，∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，∴|a＋b－c|≤1.方法二　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x,1－y)，∴|a＋b－c|＝＝＝≤1. (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方． (1)(2013·山东)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．(2)(2013·重庆改编)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是________．答案　(1)　(2)解析　(1)由⊥知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λA2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.(2)∵⊥，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝0，∴·－·－·＝－2.∵＝＋.∴－＝－＋－，∴＝＋－.∵||＝||＝1，∴2＝1＋1＋2＋2(·－·－·)＝2＋2＋2(－2)＝2－2，∵||<，∴0≤||2<，∴0≤2－2<，∴<2≤2，即||∈.考点三　平面向量与三角函数的综合应用例3　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α