单元质量检测(一)一、选择题1．(2020·福建高考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，则∁UA等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|02} D．{x|x≤0或x≥2}解析：由x2－2x>0得x>2或x<0，所以∁UA＝{x|0≤x≤2}．答案：A2．(2020·安徽高考)若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B是( )A．{x|－10}，则A∩B等于( )A．(0,2) B．(1,2)C．(0,1) D．(－∞，0)解析：易得集合A＝{x|00，从而“k＝1”推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件．答案：A9．(2020·上海高考)“－2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0有虚根”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由方程x2＋ax＋1＝0无实根可得Δ＝a2－4<0⇒－26；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点．②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数．③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：在①中，函数有两个零点，则Δ＝m2－4m－12>0，解得m>6或m<－2，所以p是q的充要条件；②中p是q的必要不充分条件；③中p是q的既不充分也不必要条件；④中p是q的充要条件，所以选D.答案：D11．(2020·龙岩质检)对任意两个正整数m，n定义某种运算⊕：m⊕n＝，则集合P＝{(a，b)|a⊕b＝20，a，b∈N*}中元素的个数为( )A．21 B．22C．23 D．24解析：由题知，若a，b的奇偶性相同有(1,19)，(2,18)，(3,17)，(4,16)，(5,15)，(6,14)，(7,13)，(8,12)，(9,11)，(10,10)，交换顺序可得(a，b)的个数为20个，其中(10,10)交换后重复，故为19个；若a，b的奇偶性不相同，则有(1,20)，(4,5)，交换顺序得(a，b)的个数为4个，故集合P中元素的个数为23个．答案：C12．(2020·济南调研)设A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x||x－|＋|x－|≤2}，B＝{x|x≥1}，则A×B等于( )A．[0,1)∪(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：根据绝对值的几何意义，不等式|x－|＋|x－|≤2的解集为A＝{x|0≤x≤2}，又B＝{x|x≥1}，故A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤2}，故A×B＝{x|0≤x<1或x>2}．答案：A二、填空题13．已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，若A⊆B，则实数m的值为________．解析：根据题意，得m2＝2m－1，解得m＝1，经验证符合题意，所以m＝1.答案：114．(2020·南京一调)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}．若P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|<2，x∈R}，则P－Q＝________.解析：由0≤x＋<4，得－≤x<，所以Q＝{x|－≤x<}，故P－Q＝{4}．答案：{4}15．设A＝{x|<0}，B＝{x||x－b||a－b|，当点D与点B重合时， |a－xb|＝|a－b|，反之也成立．答案：充要三、解答题17．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}且M＝N，求a，b的值．解：由题意知，或⇒或或根据元素的互异性得或即为所求．18．已知集合A＝{x|mx2－2x＋3＝0，m∈R}．(1)若A是空集，求m的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求m的值；(3)若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．解：集合A是方程mx2－2x＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A是空集，∴方程mx2－2x＋3＝0无解．∴Δ＝4－12m<0，即m>.(2)∵A中只有一个元素，∴方程mx2－2x＋3＝0只有一个解．若m＝0，方程为－2x＋3＝0，只有一解x＝；若m≠0，则Δ＝0，即4－12m＝0，m＝.∴m＝0或m＝.(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据(1)、(2)的结果，得m＝0或m≥.19．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1，又由题意应有p真q假或p假q真．①若p真q假，则，a无解．②若p假q真，则，∴a＋1或5x<1－a(a≥0)和条件q：>0，请选取适当的非负数a的值，分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：已知条件p：5x<－a＋1或5x>a＋1，∴x<或x>.已知条件q，即2x2－3x＋1>0，∴x<或x>1，令a＝4，则p：x<－或x>1，此时必有p⇒q成立，反之不然．故可以选取的一个非负实数是a＝4.A为p，B为q，对应的命题是若p，则q.自以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．(注：本题为开放性命题，答案不唯一，只需满足≤，且≥1(端点等号不可同时取得)即可)22．设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠Ø？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．解：假设A∩B≠Ø，则方程组有正整数解，消去y，得ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0 (*)由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，解得－≤a≤.因a为非零整数，∴a＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠Ø，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．。
