特殊平行四边形知识归纳.doc

八年级平行四边形相关知识归纳和常见题型精讲性质和判定总表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形一. 矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分． 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长． 例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF． 例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由． 二．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 　　求证：∠AFD=∠CBE． 例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 例3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。

求证：AM=BE 例5． （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．(1)求线段的长．例6、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想例7、（2008山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.三．正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．• 注意：1、正方形概念的三个要点： （1）是平行四边形；• （2）有一个角是直角；• （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．例3、（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. ABCPDE例4．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．例5：（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．7．特殊的平行四边形（1）平行四边形+一个直角=矩形（2）平行四边形+一组邻边相等=菱形（3）平行四边形+一个直角+一组邻边相等=正方形矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：① 四个角都是直角；② 对角线相等；③ 既是中心对称图形又是轴对称图形。

S=ab(a为一边长，b为另一边长)菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形除具有平行四边形的性质外，还有：① 四条边相等；② 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③ 既是中心对称图形又是轴对称图形① S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；②S=bc(b、c为两条对角线的长)正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质① 四个角是直角，四条边相等；② 对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③ 既是中心对称图形又是轴对称图形① S=a2(a为边长)②S=b2（b为对角线长）梯形知识点定义：一组对边平行且不相等的四边形性质与判定：1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）2．两腰相等的梯形是等腰梯形3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形4．有一个内角是直角的梯形是直角梯形5．对角线相等的梯形是等腰梯形．6.梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底常用辅助线：1．作高（无数条，根据实际题目确定）2．平移一腰3．平移对角线4．延长两腰交于一点5．取一腰中点，另一腰两端点连接并延长。

6． 取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。