专业化小学数学的创建（系列讲座之二）.ppt

专业化小学数学的创建（系列讲座之二） 郑毓信 （南京大学哲学系）一、从新一代小学数学教师的成 长谈起 • 由“多才多艺”转向“专业化” • 由“经验型教学”转向“理论指 导下的自觉实践”； • 由单纯的“教学型”转向“教学 与科研并重型”数学教育的专业化” • “数学教育既不应被认为完全附 属于数学，也不应被认为完全 附属于教育；毋宁说，数学教 育具有自己的特殊问题，并又 正是围绕着这些问题，正在形 成系统的数学教育理论两个特别重要的问题第一，如何在教学中很好地体现数学思 维，从而帮助学生初步地学会数学的思 维方式；第二，深入了解学生在小学数学学习过 程中的真实思维活动，从而为教学活动 的设计奠定科学的基础 二、数学思维与小学数学教学“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够 • 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需 的重要数学知识（包括数学事实、数学活动 经验）以及基本的数学思想方法和必要的应 用技能； • 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析 现实社会，去解决日常生活中和其他学科学 习中的问题，增强应用数学的意识 （《全日制义务教育数学课程标准（实验稿） 》第6页）• 基本论点：小学数学教学应当、也完全 可以很好地体现数学思维的特点，从而 帮助学生初步地学会数学的思维方式。

• 相应的思想障碍：小学数学的内容过于 简单，从而就不可能很好地体现数学思 维的特点 • 关键：应当很好地把握数学思维在总体 上的一些主要特征 （1）数学化的思想• 数学：模式的科学 数学是通过相对独立的量化模式的建构 、并以此为直接对象从事客观世界量性 规律性的研究 • 进一步的思考：应当如何去认识和处理“日常数学”与“学 校数学”这两者之间的关系？由“日常数学”上升到“学校数学 ”的重要性• “数学的力量源于它的普遍性人们可以用同 样的数去对各种不同的集合进行计数，也可 以用同样的数去对各种不同的量进行度量 ……尽管运算（等）所涉及的方面十分丰富 ，但又始终是同一个运算——这即是借助于 算法所表明的事实作为计算者人们容易忘 记其所涉及的数以及他所面对的文字题中的 算术问题的来源但是，为了真正理解这种 存在于多样性之中的简单性，在计算的同时 我们又必须能够由算法的简单性回到多样化 的现实弗赖登特尔）• “儿童来到学校虽然还未接受正式教导 ，但所具备的数学知识却比预料为多 ……他们所需要的帮助是从（学校教学 ）活动中组织和巩固他们的非正规知识 ，同时需扩展他们这种知识，使其与我 们社会文化部分中的高度紧密的知识体 系相结合。

斯根普语）学数学就是学习数学化• 数学化的思想不仅直接涉及到了数学知 识内容与现实生活之间的联系，即是如 何由现实原型抽象出相应的数学概念或 问题，而且也包括了对于数量关系的纯 数学（形式）的研究，以及由数学知识 向现实生活的“复归” • “数学化……是一条保证实现数学整体结构的 广阔途径……情境和模型，问题与求解这 些活动作为必不可少的局部手段是重要的， 但它们都应该服从于总的方法 • “当前已经有不少人对数学教育提出了数学化 的要求，但我担心其结构太狭隘，常常把数 学化理解成最低层次的活动……最时髦的提 法就是为现实中某个微小而孤立的片断—— 所谓‘情境’进行数学化，也就是为情境建立一 个数学模型 （弗赖登特尔语） （2）算术与代数思想的基本形式• 凝聚：由“过程”向“对象”的转化 • 过程—对象对偶体：同一概念心理表征 的不同侧面 • “过程－对象性思维” （1）“对偶性”（Duality)；（2）“含糊性”（ambiguity）；（3）“灵活性”（flexibility） （3）数学思维的重要特征• 互补与整合：数学思维的一个重要特征 （1）有理数的各种解释的互补； （2）各种学习方式与表述形式的互补； （3）各种解题方法的互补与思维的必要“ 优化”。

（4）数学的基本要素：形式、直觉与算 法 （4）用数学方法论指导具体数 学知识内容的教学• 数学方法论：数学思维的研究 • 通过创造活动的“理性重建”使之成为可 以理解的、可以学到手的、可以加以推 广应用的 • 用数学方法论指导数学教学，真正做到 “教活”、“教懂”、“教深”三、小学数学学习过程中的思 维活动 • 基本论点：就儿童的学习活动而言，即 使是十分初等的题材也可能包含相当复 杂的思维发展过程 • 相应的思想障碍：由于习惯于以成人的 思维来考虑问题，因此就很容易采取简 单化的认识 • 关键：深入了解学生在数学学习过程中 真实的思维活动 （1）学生关于加减法的概念结 构• 加减法的“单一性概念结构”第一，加项与和的单一表示 ；第二，简 化的计数程序 ；第三，导出事实与已知 事实的程序 • 加减法的“多单位概念结构”第一，“组合式多重单位” ；第二，“序列 式多重单位” （2）有理数的乘除与学生的观 念错误• 乘除法与加减法的比较 • “运算的不守恒性” 及其根源： 应当用什么样的方法求解以下两个问题： （1）某种奶酪的售价为每公斤28元，问 ：5公斤这样的奶酪售价是多少？ （2）某种奶酪的售价为每公斤27.50元， 问：0.923公斤这样的奶酪售价是多少？• 分析：学生头脑中存在关于乘除法的某些“基本 原型”；大多数学生又正是通过先前的学习逐渐 形成了与乘除运算直接相关的一些观念 。

• 结论应当重视观念的更新或概念的必要重构 重构与重组：数学思维的又一 重要特征 “研究表明，数学的学习不是 一个连续过程，它必须重新 组织、重新认识，有时甚至 要与以前的知识和思考模式 真正决裂安提卡语） 教学涵义• 一些常见的错误往往有着十分深刻的认 识论根源，从而就不可能通过正面的示 范简单地得到纠正，同样地，观念的更 新也不可能通过外部的强制轻易地得以 实现；恰恰相反，这里的关键即在于如 何能在学生头脑中引起必要的概念冲突 ，从而就能较为自觉地去实现观念的必 要更新与知识的必要重构 （3）面积计算与理解学习 • 理解学习与“概念网络”新知识的理解即是指后者被成功地纳入 到了主体已有的“概念网络”之中，也即 与主体已有的知识和经验建立起了广泛 的联系 “逻辑结构”与“概念网络”的区分：线性、单向性、收敛性；网状、双（多）向性、发散性教学涵义• 教学中应当突破逻辑线索的 束缚，也即应当努力帮助学 生在各个相关的内容之间建 立网状的、多向的联系四|、新一代小学数学教师的成 长 （1）加强理论学习 （2）加强理论思维、特别是 批判与自我批判（3）观念的必要更新 问题表• 什么是数学理解和学习？如何才能达到 数学理解和学习？什么是这一方面的基 本理论？这些理论与大学层次的数学教 学又有着怎样的联系？ • 什么是数学教育的研究方法？数学教育 研究有哪些主要的发现？什么是阻碍研 究成果向数学教学实践渗透的主要障碍 ？• 对于不同层次上学习过程的性质的研究 是否可能获得不同的结论？适用于普通 教育的理论是否同样适用于大学层次？ 是否有必要建立大学层次的专门理论？ • 对于传统的和其它可能的教学方法作了 哪些研究？什么是这些研究的主要结论 ？• 教学上应当如何去适应学生的不同背景 、不同能力和不同兴趣？什么是进行大 班教学的有效方法？ • 对于各个专题的教和学，如微积分和线 性代数等，我们已经知道些什么？各个 专题是否有其一定的特殊性？是否存在 适用于若干专题的普遍性？• 是否有其它的评价方法？评价如何能被 用于促进学习和理解？什么是不同专业 对于数学能力的具体要求？ • 什么是学生对于数学的态度和信念？如 何使之发生变化？它们对学生选学数学 性科目及其成功性有怎样的影响？• 技术的应用对于数学的教和学有怎样的 影响？技术如何能被用来促进理解？ • 有哪些重要课题尚未在研究文献得到充 分反映？又应如何去促进这些方面的研 究？参考文献• 郑毓信，《数学方法论》，广西教育出版社 ，1991年 • 郑毓信，《数学教育哲学》，四川教育出版 社，1995年 • 郑毓信、肖柏荣、熊萍，《数学思维与数学 方法论》，四川教育出版社，2001年 • 郑毓信，《数学教育：从理论到实践》，上 海教育出版社，2001 • 郑毓信、梁贯成，《认知科学、建构主义与 数学教育》，上海教育出版社，1998参考文献• 郑毓信 ，“数学思维与小学数学教学”，《课 程、教材与教法》，2004年第四期 • 郑毓信，“小学生数学学习过程中的思维活动 ”，《小学青年教师》，2004年第三期 • 郑毓信，“新一代小学数学教师的成长”，《 小学青年教师》，2003年第六期 • 郑毓信，《数学教育：从理论到实践》，上 海教育出版社，2002 • 郑毓信，《国际视角下的小学数学教育》， 人民教育出版社，2004 。