定积分几何应用.ppt

1第四节第四节 定积分的几何应用定积分的几何应用二、平面图形的面积二、平面图形的面积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 四、某些特殊的几何体的体积四、某些特殊的几何体的体积一、微元法基本思想一、微元法基本思想 ★ ★ P336五、旋转曲面的表面积五、旋转曲面的表面积2一、微元法基本思想一、微元法基本思想 1. 回顾曲边梯形的面积问题回顾曲边梯形的面积问题 具体步骤具体步骤 “四步曲四步曲”把原曲边梯形分成把原曲边梯形分成 n个窄曲边梯形个窄曲边梯形,（（1）分割）分割（（2）取点）取点（（4）取极限）取极限 记作记作ab xyo第第i个窄曲边梯形面积记为个窄曲边梯形面积记为 Si ;（（3）求和）求和3解决实际问题时按照下面步骤解决实际问题时按照下面步骤自自变变量量分分割割科科学学规规律律 转转为为微微分分直直接接积积分分 简化为简化为如曲边梯形的面积问题如曲边梯形的面积问题然后把然后把dS在在[a, b]上作定积分，上作定积分，这就是所说的这就是所说的微元法或元素法微元法或元素法ab xyo或者或者 42. 应用微元法的一般步骤：应用微元法的一般步骤：(1) 根据具体问题，选取一个变量根据具体问题，选取一个变量x为积分变量，为积分变量，并确定它的变化区间并确定它的变化区间[a, b]；；(2) 在在 [a, b]上，任取一小区间上，任取一小区间[x, x+dx]；；应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；旋转体的表面积；功；水压力；引力等旋转体的表面积；功；水压力；引力等.5二、平面图形的面积二、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积6例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线y = x2，，y2 = x所围图形的面积。

所围图形的面积 解：解：由由取取x为积分变量为积分变量, 变化范围为变化范围为[0,1] 得面积元素得面积元素 (1,1)Oy = x2 y2 = xyx1x+dxx1yy+dy得交点得交点P314 例例说明说明也可取也可取y为积分变量为积分变量, 7选选x作积分变量，则作积分变量，则x的取值范围是的取值范围是[0 ,  ]例例2. 求求y = sinx, y = sin2x (0   x     )所围图形的面积所围图形的面积 解：解：由由得交点得交点(0, 0)，， , (  , 0)yOxy = sin2xy = sinx8例例3. 解解. 不妨设不妨设x>0. 于是于是, 由于由于两式相除两式相除, 得得 解得解得说明说明1.双曲正弦、双曲正弦、2. 双曲余弦的由双曲余弦的由来来2. 三角函数统称为三角函数统称为 圆函数的原因圆函数的原因P314 例例910曲线由参数方程曲线由参数方程 给出时给出时,按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积则曲边梯形面积2. 参数表示的情形参数表示的情形 11例例4. 求椭圆求椭圆解解: 利用对称性利用对称性 , 所围图形的面积所围图形的面积 . 有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式P314 例例12例例5. 求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积。

轴所围平面图形的面积解解:xy2 ao说明说明常用几何曲线的图形见常用几何曲线的图形见 P333-336.P316 例例7.4.4 133. 极坐标的情形极坐标的情形 求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为14极坐标表示的情形极坐标表示的情形 15解解:由对称性知，总面积由对称性知，总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例6. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . P330 1(12) 16解解: 利用对称性利用对称性,例例7. 求心形线求心形线所围图形的面积所围图形的面积17例例8. 求三叶玫瑰线求三叶玫瑰线 围成图形的面积围成图形的面积. 解解: 由对称性由对称性,只求半叶玫瑰的面积只求半叶玫瑰的面积P318 例例7.4.6 18例例9. 计算心形线计算心形线与圆与圆所围公共部分的面积。

所围公共部分的面积 解解: 利用对称性利用对称性 , 所求面积所求面积19下次课内容预告：定积分的几何应用下次课内容预告：定积分的几何应用(续续) 1. 曲线的弧长曲线的弧长 2. 特殊立体的体积特殊立体的体积 3. 旋转体的侧面积旋转体的侧面积作业作业 P329 1(1) (2) (7) (11) (13) P329 1(1) (2) (7) (11) (13)本次课内容小结本次课内容小结1. 微元法微元法 2. 平面几何图形的面积平面几何图形的面积 或者或者 20三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,当折线段的最大当折线段的最大边长边长  →0 时时, 折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长 , 即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.则称则称 问题问题: 1. 什么样的曲线是可求长的什么样的曲线是可求长的?2. 当曲线可求长时当曲线可求长时, 如何确定其弧长如何确定其弧长?21说明说明光滑曲线光滑曲线的切线是的切线是连续变动的连续变动的 定义定义 定理定理 若由参数方程若由参数方程 确定的曲线是光滑曲线确定的曲线是光滑曲线, 则它是可求长的则它是可求长的, 其弧长为其弧长为证明证明 参考参考 P319-320, 略略.将将称为弧长的微分称为弧长的微分 221. 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长232. 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长243. 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长因此所求弧长则得则得 弧长元素弧长元素( (弧微分弧微分) :) :注意注意: : 求弧长时积分上下限必须求弧长时积分上下限必须上大下小上大下小。

P320 例例7.4.7 自学自学25例例10. 计算摆线计算摆线一拱一拱的弧长的弧长 .解解: :P321 例例7.4.8 26解：解： 例例11. 求心形线求心形线的长度的长度.P330 3(6)27推广推广设设在在上连续上连续, 且且则由参数方程则由参数方程所确定的曲线的弧长为所确定的曲线的弧长为28例例12. 求圆锥螺线求圆锥螺线第一圈的长度第一圈的长度.解解. 29圆锥螺线圆锥螺线第一圈的长度第一圈的长度30四、某些特殊几何体的体积四、某些特殊几何体的体积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间则对应于小区间的体积元素为的体积元素为因此所求立体体积为因此所求立体体积为上连续上连续,1. 平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积31例例13. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并并与底面交成与底面交成   角角,解解: 如图所示取坐标系如图所示取坐标系, 则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为利用对称性利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .P323 例例7.4.10 自学自学, 注意与本题的区别注意与本题的区别!322. 旋转旋转立体的体积立体的体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体。

这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台33成的立体体积，成的立体体积，考虑连续曲线段考虑连续曲线段旋转体的体积为旋转体的体积为当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有绕绕x轴旋转一周围轴旋转一周围取取 x 作积分变量作积分变量,在在[a, b]上任取小区间上任取小区间[ x, x+dx]薄片的体积元素为薄片的体积元素为34解：解：例例14. 椭圆椭圆 所围图形分别绕所围图形分别绕 x 轴、轴、 y 轴旋转而生成立体的体积轴旋转而生成立体的体积 绕绕x轴旋转时，轴旋转时，(利用对称性利用对称性)椭圆参数方程椭圆参数方程特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积35(利用对称性利用对称性)绕绕 y 轴旋转时，轴旋转时，椭圆参数方程椭圆参数方程(1)曲线的参数方程为曲线的参数方程为 说明说明36解：解：旋转体的体积旋转体的体积(利用对称性利用对称性)例例15. 求星形线求星形线 绕绕 x 轴旋转轴旋转 构成旋转体的体积。

构成旋转体的体积 37解解: 绕绕x轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积利用对称性利用对称性例例16. 计算摆线计算摆线的一拱与的一拱与 y＝＝0所围成的图形绕所围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 .P324 例例7.4.12 思考思考: 若是绕若是绕 y 轴旋转轴旋转, 结果如何结果如何?38绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成轴旋转构成旋转体的体积之差旋转体的体积之差注意上下限注意上下限 !39例例17. 证明证明由平面图形由平面图形0   a   x   b，，0   y   f (x)绕绕y轴旋转所成的旋转体的体积为轴旋转所成的旋转体的体积为x x+dx证明证明:(不要求不要求0   y   f (x)时时) 柱壳法柱壳法 P330 6(1) P330 6(1) 41(1,1)Oy = x2 y2 = xyxx x+dx例例19. 求由求由y = x2及及x = y2所围图形绕所围图形绕y轴旋转一周所轴旋转一周所 生成立体的体积。

生成立体的体积 解：解：如图如图 绕绕 y 轴旋转时，轴旋转时，42五、旋转体的侧面积五、旋转体的侧面积设平面光滑曲线设平面光滑曲线求求积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素取侧面积元素:43侧面积元素侧面积元素的线性主部的线性主部 .若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程给出给出, 则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积不是薄片侧面积△△S 的的 注意注意:侧面积为侧面积为44例例19. 求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性利用对称性绕绕 x 轴旋转轴旋转 45将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式例例20. 求旋轮线一拱绕求旋轮线一拱绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积轴旋转一周所得旋转曲面的面积.解解:4647下次课内容预告：定积分的物理应用下次课内容预告：定积分的物理应用 1. 液体的静压力液体的静压力 2. 引力引力 3. 做功与功率做功与功率作业作业 P330 2(2)(4)(8) P330 2(2)(4)(8)5(2)(3) 7(2)(4-ii)(6)5(2)(3) 7(2)(4-ii)(6) 。