圆锥曲线与方程解题归纳分析(附真题练习与答案).doc

圆锥曲线与方程解题归纳分析（附同步高考真题练习与答案）1. 点到直线的距离2.弦长公式：线上两点间的距离： 或3.焦点三角形面积公式：（其中）4.焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”2）（3）最值问题（1）定义转化例1.已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析:图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.（2）切线法（3）参数法例2.在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．解析　因为椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)．故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，当φ＝时，S取最大值2.（4）基本不等式法例3.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．解：题设得椭圆的方程为＋y2＝1.直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.①根据点到直线的距离公式和①式，得点E，F到AB的距离分别为h1＝＝，h2＝＝，又|AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝＝2≤2，当2k＝1，即k＝时，取等号．所以四边形AEBF面积的最大值为2.圆锥曲线范围问题（1）曲线几何性质例4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．解析　根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r，则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|PF2|＝.根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即≥c－a，即≤，即e≤.又e＞1，故双曲线的离心率e的取值范围是.故填.（2）判别式例5．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量＋与共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．解　(1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.①由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，即k的取值范围为∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．由方程①，知x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)．所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入，解得k＝.由(1)知k＜－或k＞，故不存在符合题意的常数k.圆锥曲线定值定点问题特殊到一般例6.已知双曲线C：x2－＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．证明　当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝±.当x＝时，代入双曲线方程，得y＝±，即A(，)，B(，－)，此时∠AOB＝90°，同理，当x＝－时，∠AOB＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，则＝，即b2＝2(1＋k2)．由直线方程和双曲线方程消掉y，得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，由直线l与双曲线交于A，B两点．故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝＋＋＝，故x1x2＋y1y2＝＋＝，由于b2＝2(1＋k2)，故x1x2＋y1y2＝0，即·＝0，∠AOB＝90°.综上可知，若l交双曲线于A，B两点，则∠AOB的大小为定值90°常用方法1、点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=例7.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直线BC的方程为2)由AB⊥AC得 （2）设直线BC方程为，得， 代入（2）式得，解得或直线过定点（0，，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。

2设而不求法例8.如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围 解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ， 设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， ① ② 由①式得 ， ③将③式代入②式，整理得 ，故 由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略． 解法二：建系同解法一，，，又，代入整理，由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 3．求根公式法例9.设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以 ===.由 , 解得 ，所以 ，综上 .简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以 ，解得 .结合得. 综上，.同步高考真题练习1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x＝－1直线的距离之和的最小值为(　　)．A. B. C. D.2．已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1

4.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值5．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．6．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e的范围为(　　)．A.＜e＜ B．0＜e＜C.＜e＜ D.＜e＜7.椭圆（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且 求离心率e的取值范围.8.设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.9.在平面直角坐标系中，已知双曲线：．（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值．10.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．练习答案1.解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离；于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小；显然，连AF交曲线于P点．故最小值为，即为.2.解析：由题意知A(1,1)，B(m，)，C(4,2)．直线AC所在的方程为x－3y＋2＝0，点B到该直线的距离为d＝.S△ABC＝|AC|·d＝××＝|m－3＋2|＝|(－)2－|.∵m∈(1,4)，∴当＝时，S△ABC有最大值，此时m＝.故选B.3.解：设切点为 ， 则切线方程为 .令y=0, 得切线与x轴交点；令x=0,得切线与y轴交点B(0,)= 4.解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由中点标公式得x=x0=2x－1，y0=2y－，由点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),则,又点A到直线BC的距离d=,∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.∴S△ABC的最大值是. 解：求直线方程，由于F(－c,0)为已知，仅需求斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，。