最优化方法及其应用课后答案.docx

最优化方法部分课后习题解答习题一1. 一直优化问题的数学模型为:min f(x) =(x -3)2 +(x -4)2f 1 5 2g (x) =x -x - U0I 1 1 2 2st|g (x) =-x -x +5 20g3(x) =X 20g (x) =x 204 2试用图解法求出：(1) 无约束最优点，并求出最优值2) 约束最优点，并求出其最优值3) 如果加一个等式约束hX =x -x =0，其约束最优解是什么？12解：(1)在无约束条件下，f(x)的可行域在整个x0x平面上，不难看出，当x =*3, 4)12时，f M取最小值，即，最优点为带=(3， 4):且最优值为：f(x*) =0 (2)在约束条件下，f(x)的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点* %)，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当X* = (? , 5)时，f(x)所在的圆的半径最小其中：点为gi⑴和g2(x)的交点，令，、 5八

2. 一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题解：列出这个优化问题的数学模型为：max f(x) =xxx123xx +2xx +2xx MS1[2 2 3 1 3{ lx >0 该优化问题属于三维的优化问题s:^ 1x >02 cx >03x= -Js/ 3,y = \s/ 3,z = 寸's/12(3s =18 =习题二3.计算一般二次函数f(X) =1 X以X +bTX +€的梯度解：设：A =(a ) ,b =(b,b ,...b)T,X =(xx，…x )t则：i nxn1 2 n 1 2 nf(x) = 1 _ n n a xx2 H 户 ji jn£ bx +c,将它对变量x (i =1, 2,..n)球偏导数得:f)=ldf(x)1 I位 |11df(x)1 £ ,Z_a x +j=11 £ l|2— £a x +j=1 £ax +b |=—£a x +b |=£n a1 x | j=£n a x2j j£学111 =[I £a2 x[b J|+b| f(x) 1[dx J31j=x+nj j|2:•|21 £ Ml—」ax +b I = 」£ax |nj jj=1|l j=1=|n i I2| bJ3=1 1=2(AX +A X) +b5.求下列函数的梯度和Hesse矩阵(1) f(x) =x2 +2x 2 +3x 2 -4xx12解：V2f(x)」0 I 4 00 6(2)f(x) =3xx2 +e\x1解：V2f(x)=6x +x2+xx/ w212^6x +exx +xxexx 6x +x2ecx2 1 2 1 16, 判断下列函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹函数：(1) f(x,x ) =-x2 +2x 2 +3xx1 2 1 2 1 2解：V2f(x)不是半正定，即f(x)非凸，然后判断-f(x)，经验证：V2( -f( x))不是半正定，由此可知：f(x)非凸非凹。

2) f(x,x) =2x2 -4xx +3x2 -5x -61 2 1 1 2 2 1解：V2f(x)半正定，故f(x)为凸函数3) f(x, x, x) =x 2 +2 x 2 -3x 2 -4xx1 2 3 1 2 3 1 2解：V2f(x)不是半正定，即f(x)非凸，然后判断-f(x)，经验证：V2(-f(x))不是半 正定，由此可知：f(x)非凸非凹7. 设约束优化问题的数学模型为:min f(X) =x2 +4x +x 2 -4x +10I r 1 1 2 2< (g (x) =x -x +2 >0g (x) =-x2 -x2 -2x +2x >0 试用K-T条件判别点x =[-1,1}是否为最优点解：对于点x=[-1,1｝，且g( x)是起作用约束，g(x) =0，g (x) >0,/点满足约束条件,\故点X是可行解 1I 如 f =1-1 p由Vg(x) >0条件下的t满足K-T条K-T 条件得： f -£.Vg(x) =01 >0 ,得到 £ =2,点 x =[-1』 日件又因V2f(x)正定，故f(x)为严格凸函数，该最优化问题是凸规划问题，由 x* =[-1,1｝是K-T点，所以x* 4-1,1｝也是该问题的全局最优点。

8. 设约束优化问题:min f(x) =(x -2)2 +x 2|(g( x) =-x M0 2st. g (x) =-x V02 | 2[g (x) =-1 +x2 +x V03 1 2试用K-T条件判定它是不是约束最优解点x =1,0｝是可行点， ，、■筒 /)E / 5 =i 目它的当前迭代点为x =1,0}, k解：对于点 xk =h,0} g (“)了 - <0g (x) =0gk(x ) =0且起作用的约束条件是，g (x),g (x), I =2,3}, Vf(x) =123 kVg (x ) =1 H \由约束条件为g(x) <0时的K-T条件得，应有:V(x +^AVg(x) =0, £ >0 i i i日3 k M / i解得：^ 2 =1，所以x =11,0] 丁为K-T点« =1 k现判断该问题是否为凸规划问题，因V2f⑴正定，故f(x为凸函数，g(叫g(x)为线性函数，亦为凸函数，V2g(x)半正定，所以g⑴为凸函数，所以该优化问题为凸3 3规划问题，即点X =1,0｝是该问题的约束最优解k习题三1. 对于下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定出最优解。

max f(x) =3x +x +2x12x +3x +6x +x =91 2 3 4(1) st I8x +x -4x +2x =1012 3 53. =0x >0(j=1,2...6)\12 3 6 3 0 0 I解：令 A=|8 1 -4 0 2 0 =(P P, P, P, P, P)1 / 1 2 3 4 5 6勺 0 0 0 0 -1/1(1) 基解x =(16,- (13) 基解x =(030,0, ,0)是基可行解，且f(x =3殳0，0)不是基可行解，I 3 6(2) 基解x =(0,1Q7,Q0)不是基可行解，2(3) 基解x =(0J3.50)是基可行解，且f(x)=3，3 7 21(4) 基解x =( -, ~4,0,0,0^ ——)不是基可行解，44 4(5) 基解x =(0Q- |,8,0,0)不是基可行解，523(6) 基解x6 =(00, ,20,16,0)是基可行解，且 f(x =3，(7) 基解x =(10,-1,0,0,3)不是基可行解，7 2(8) 基解x =(03,5,0)是基可行解，且f(x) =0，8(9) 基解％ =9矽,0, -2,0,15|不是基可行解。

10) 基解x =°*,0,0, 4,#是基可行解，且f(x) = 13 210 4 4 416 7(11) 基解x =(0,厂,~ -,°,0,0)不是基可行解II 3 6(12) 基解x =(0,1Q,-7,0,0)不是基可行解12(14)(15)基解x 14=(01-5,8必,0)不是基可行解…~ 3八基解x =(00, ,0,8,0)是基可行解，且f(X =316)15 2基解x =(035,0)是基可行解，且f(x) =3 162, 用单纯形法求解下列线性规划问题：max f(x) =10x +5x(1)底 +4 x2 <9st5 x +2x <8X, x 20解：将现行规划问题化为标准形式如下：min( -f(x)) = -0x -5x +0x +0x2 3 4I |Bx +4x +x =9& 5 x +2x +x =8虹 x, x, x 201234作初始单纯形表，并按单纯形表步骤进行迭代，如下:CBXBb-10x1-5x20x30x40i0x39341030x48[5]2011.60-10-5000x34.20[2.8]1-0.61.5-10x11.610.400.24160-102-5x21.5015 百314-10x11101 ——72717.5005 百25 百3此时，。

卢为正’目标函数已不能再减小’于是得到最优解为f =(1,罗,0)目标函数值为：f(W =17.53. 分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题:min f(x =5x -2x +3x -6x( 12 3 4x +2 尤 +3 尤 +4 x =7\x +x +x +2x =311 2 3 4X,x,x,x 20 1234解：(1)大M法：把原问题化为标准形式，并加入人工变量如下:min f(x =5x -2x +3x -6x +Mx +Mx( 1 2 3 4 5 6I x +2x +3x +4x +x =7\< 1 2 3 4 5st 2 x +x +x +2x +x =31 2 3 4 6x,x,x,x,x,x 20123456作初始单纯形表，并按单纯形表步骤进行迭代，如下:CBXBb5X1-2X23X3-6X4-6X4-6X40iMX571234101.75MX63211[2]011.5-10M5-3M-2-3M3-4M-6-6M00MX51-30[1]01-21-6X41.510.50.5100.539-M11+3M16-M003M+33X31-30101-2-6X。