1996年全国硕士研究生考试数学（二）真题（含解析）.pdf

1996年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 1 页，共 7 页1996年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 2 页，共 7 页1996年数学（二）真题解析一、填空题(1) 【答案】 y.x _丄 工解由 y = #(z+e 2) (1 _ _ e 2 )，得 y |乂=0 = y.(2) 【答案】2.【解】(工 + /1 x2 ) dr = (/ + 2工 J_ 无？ + 于)山=dz = 2.J -i J -i J -i（3） 【答案】y = eJ（C1Cos 2工+ C2sin 2工）（Cl ,C2为任意常数）.【解】 特征方程为A2 +2A +5 = 0,特征根为入】,2 = l2i, 则原方程的通解为夕=e-x（C1Cos 2工+C2sin 2工）（C, ,C2为任意常数）.（4） 【答案】2.【解】 令/（）= sin t,/（/） = cos t,由拉格朗日中值定理得=cos E其中W介于ln（l + +）与111（1 +弓）之间，则 limzsinIn 1 +sinIntr-*0lim g = 2./f 0 t（5）【答案】In 2-.【解】 由工+丄=2得工=1,则所围成图形的面积为X.S = J （工+-2）cLr=# + ln2 2 = In 2-.二.选择题（1）【答案】（A）.【解】方法一2由于=1+工+牙十0（工2）,得eJ (.ajc2 + bx + 1) = (1 b)x + (-a) / + o (j; 2 ),于是 1b = 0,-a = 0,故 a = -y- ,6 = 1,应选(A). 34 1996年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 3 页，共 7 页方法二0攵-2/7 T - 1 p-1 - 2/7再由 0 = lim- - = lim-得 a = ，应选(A)x-*0 LjJC x-*0 Z L(2)【答案】(C).【解】 显然 /(O) = 0,由 0 = | f(.jc ) | j;2 得 lim /(jr ) = 0,即 f(jc )在工=0 处连续,又由OW |x I，根据夹逼定理得limZ = 0,即/(0) = 0,应选(C).I JC I x-*0 X(3)【答案】(D).【解】方法一取 /(j: ) = x ,显然 lim /(t ) = lim /(x ) = +,但 f (x ) = 1,排除(A) , (C);取/(工)=x2，/ x = 2工，显然 lim / (z ) = 00 ,但 lim /(工)=+,排除(B),应选(D).方法二因为 lim /() = +,所以存在 X。

0,当乂 X时,f3 1,当工 X时,/(x)-/(x0)= ya)Q x)，其中 xc /(Xo) + (z X)，两边取极限得 lim /(j: ) = +,应选(D).(4)【答案】(C).【解】 令/&) = r + &一 cosz,显然/Q)为偶函数，只研究/Gr)在(0,+oo)内的零点个数.因为当工$ 1时，/() 0,所以只研究/(x)在(0,1)内零点的个数.因为/(0) = -1 0,所以/Q)在(0,1)内至少有一个零点.又因为/(工)=+ + 0(0工 1),所以 2)在(0,1)内单调递增，从而y(z)在4 尸 2 yr(0,1)内只有唯一的零点，故方程|x |7+ | | 7 - cos =0在(一x,+oo)内有且仅有两个根，应选(C).(5)【解】(B).【答案】 因为dV = 7tm g(j?)2 _m f (j; )2 ，所以旋转体的体积为V = 7Tjn g(z)2 _m / (j;)2djr_2m f(jc ) g (h ) g (工)dr 应选(E).三、【解】令 = J _严，则无=-ln(l 八)，T+ ln(2 + ).(2)方法一dx = tan x- C.cos x 35 1996年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 4 页，共 7 页方法二+ C.r dj?J 1 + sin x方法三r 山J 1 + sin x血+吨）2 JCsec 7tan y + 1Ttan + 12tany + 1+ C.21訴=d(tan - + 12(?)dy = dy/曲=tfd )_/() dz dz / dt f(t2)d2y =琵4 =1.七、【证明】 不妨设/(a) 0,/z(6) 0,因为厂a) = lim 血20,所以存在5 0,当工E (a,a+5)时上(),即/(工)0, 一+za xa取 Ci W (a,a 十 5),则有 /(Ci ) 0 ;因为 f(b) = lim 0,所以存在 5 0,当工 6 Cb-8,b)时 d|0,即 /() 0,Y工7 工_b取 C2 E (b-8,b),则有 /(c2) 0.因为/(C!)/(c2) 0,所以由零点定理可知，存在E G(5心)U (a,b),使得f = 0.因为/(a ) = /(?) = /(6) = 0,所以由罗尔定理可知，存在tji G (a,),/ W(W,b),使得/()= y(42)= 0,再由罗尔定理可知，存在7 (，加)U (a,0),使得fm = 0.八八、 、【 【解解】 】(1)由 y+ay = f(x)得再由 y(0) = 0 得 C = 0,故 y(z) = e_ax /(t)edt.(2)若丨/Q) 则当工$0时，fx h I x b|y(z)|We | /(Z) | ea,dt eax ea, =一(1一 e).1996年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 7 页，共 7 页。