导数与定积分.docx

专题：导数和定积分基础题1．下列求导运算正确的是（ ）A．（x）′=1 B．（x2cosx）′=﹣2xsinxC．（3x）′=3xlog3e D．（log2x）′=2．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ）A．0 B．1 C．2 D．34．若f′（x0）=﹣3，则=（ ）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣65．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（ ）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣36．定积分的值等于（ ）授课：XXXA． B． C． D．8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ） 9．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（ ）A．e B．﹣e C． D．﹣10．f（x）=ax+sinx是R上的增函数，则实数a的范围是（ ）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．[1，+∞）、11．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（ ）A． B．﹣ C．﹣ D．212．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（ ）授课：XXX13．已知f（x）=x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．14．设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）A． B． C． D．15．下列4个不等式：（1）故dx＜； （2）sinxdx＜cosxdx；（3）e﹣xdx＜edx； （4）sinxdx＜xdx．能够成立的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）授课：XXX17．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜4则（ ）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）C．f（3）＜f（log2a）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）18．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知函数的图象如图所示．若两正数满足，则的取值范围是（ ）19．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是 ．20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为 ．授课：XXX21．已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为 ．23．已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则的极大值与极小值之差为 ．24．函数，则的值为 ．25．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____．授课：XXX参考答案1．D【解析】试题分析：根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可．解：A．（x+）′=1﹣，∴A错误．B．（x2cosx）′=﹣2xsinx﹣x2sinx，∴B错误．C．（3x）′=3xln3，∴C错误．D．（log2x）′=，正确．故选：D．考点：导数的运算．2．D【解析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3．B【解析】试题分析：；，两定积分相等，则，故本题的正确选项为B.授课：XXX考点：定积分的计算.4．B【解析】试题分析：根据=[4×]=4（ ）=4f′（x0），利用条件求得结果．解：∵f′（x0）=﹣3，则 =[4×]=4（ ）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，故选：B．考点：导数的运算．5．C【解析】试题分析：根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a，b，c的关系，即可得到结论．解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，即c=﹣6a，2b=﹣3a，授课：XXX即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），则===﹣5，故选：C考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．6．A【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以，所以．故选A．考点：微积分基本定理．7．B【解析】试题分析：首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选B．考点：导数的运算．授课：XXX8．C【解析】试题分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．考点：函数的单调性与导数的关系．9．C【解析】试题分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 ，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．考点：导数的几何意义．10．D【解析】试题分析：求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．授课：XXX解：∵f（x）=ax+sinx是R上的增函数，∴f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a+cosx≥0，即a≥﹣cosx，∵﹣1≤﹣cosx≤1，∴a≥1，故选：D考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．11．A【解析】试题分析：求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=，∵g（x）=，∴g′（x）=，则g′（1）===，故选：A．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．12．A【解析】试题分析：先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣授课：XXX，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．考点：函数的单调性与导数的关系；函数的图象．13．A【解析】试题分析：求导函数，利用f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，可得f′（x）=0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1，由此可得结论．解：由题意，f′（x）=3x2﹣2ax+4∵f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，∴f′（x）=0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1∴f′（0）=4＞0，f′（1）=7﹣2a＜0，解得故选A．考点：函数在某点取得极值的条件．14．B【解析】试题分析：由已知，所以，因为,所以授课：XXX．故选B．考点：导数的几何意义，直线的倾斜角，正切函数的性质．15．D【解析】试题分析：利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出．解：（1）由于x∈（0，1），∴，∴dx＜；（2）∵，∴sinx＜cosx，∴sinxdx＜cosxdx；（3）∵，∴e﹣xdx＜edx； （4）令f（x）=x﹣sinx，x∈[0，2]，则f′（x）=1﹣cosx≥0，∴sinxdx＜xdx．综上可得：正确的命题有4个．故选：D．考点：微积分基本定理．16．A【解析】试题分析：构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，授课：XXX∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．17．B【解析】试题分析：由函数的性质得到函数的对称轴，再由（x﹣2）f'（x）＞0得到函数的单调区间，由函数的单调性得到要证得结论．解：函数f（x）对定义域R内任意x都有f（x）=f（4﹣x），即函数图象的对称轴是x=2∵（x﹣2）f'（x）＞0∴x＞2时，f'（x）＞0，x＜2时，f'（x）＜0即 f（x）在（﹣∞，2）上递减，在（2，+∞）上递增∵2＜a＜4∴∴．故选B．考点：导数的运算．18．D【解析】试题分析：由导数的图像可知，当时，函数是单调递减函数，当授课：XXX时，函数是单调递增函数，所以当时，只需满足时，求的取值范围，看成线性规划问题，即时，求的取值范围，如图，可行域为。