三角函数、平面向量综合题九类型.doc

1三角函数与平面向量综合题的九种类型三角函数与平面向量综合题的九种类型题型一：题型一：三角函数与平面向量平行三角函数与平面向量平行( (共线共线) )的综合的综合 【【例例 1】】 已知 A、B、C 为三个锐角，且 A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→ p＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.→ q（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）求函数 y＝2sin2B＋cos的最大值.C－3B2题型二题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合三角函数与平面向量垂直的综合【【例例 2】】已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．→ a→ b32→ a→ b（Ⅰ）求 tanα 的值；（Ⅱ）求 cos( ＋ )的值．α23题型三题型三. 三角函数与平面向量的模的综合三角函数与平面向量的模的综合【【例例 3】】 已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(Ⅰ)求 cos(α－β)的值；(Ⅱ)若→ a→ b→ a→ b25 5－ ＜β＜0＜α＜ ，且 sinβ＝－，求 sinα 的值.22513题型四：结合向量的数量积题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值考查三角函数的化简或求值【例例 4】（2010 年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，04( )cos(2)8f xx，求的值．(tan(), 1),(cos ,2),4aba bmrrrr22cossin2() cossin  练习：设函数 f(x)＝·.其中向量＝(m，cosx)，＝(1＋sinx，1)，x∈R，且 f( )＝2.（Ⅰ）求实数 m 的→ a → b→ a→ b2值；（Ⅱ）求函数 f(x)的最小值.2题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题  【例例 5】 （浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1） 。

2sin(),yxxR02y（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N 是图像与轴的交点，求与的夹角PxPMuuu u rPNuuu r题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例例 6】（山东卷）在中，角的对边分别为，．ABC, ,A B C, ,a b ctan3 7C （1）求； （2）若，且，求．cosC5 2CB CAuu u r uu u r9abc题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例例 7】（陕西卷），其中向量，，，且函数( )f xa brr( ,cos2 )amxr(1 sin2 ,1)bxrxR的图象经过点．( )yf x(,2)4（Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合m( )yf xx题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例例 8】 （湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（ π2cos36xy, 24 a）Ａ．Ｂ．2cos234xyπ2cos234xyＣ．Ｄ．π2cos2312xyπ2cos2312xy题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例例 9】 （湖北卷）设向量，函数.(sin ,cos ),(cos ,cos ),axx bxx xRrr( )()f xaabrrr（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；( )f x3（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.3( )2f x x【【专题训练专题训练】】 一、选择题 1．已知＝(cos40，sin40)，＝(cos20，sin20)，则·＝（ ）→ a→ b→ a → bA．1B．C．D．122．将函数 y＝2sin2x－ 的图象按向量( ， )平移后得到图象对应的解析式是（ ）π2π2π2A．2cos2xB．－2cos2xC．2sin2xD．－2sin2x3．已知△ABC 中，＝，＝，若·＜0，则△ABC 是（ ）AB→a→AC→b→a→b→A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设＝＝( ,sin)，＝＝(cos, )，且∥，则锐角为（ ）→ a32→ b13→ a→ bA．30B．45C．60D．755．已知＝(sinθ，)，＝(1，)，其中 θ∈(π，)，则一定有（ ）→ a1＋cosθ→ b1－cosθ32A．∥B．⊥C．与夹角为 45°D．||＝||→ a→ b→ a→ b→ a→ b→ a→ b6．已知向量＝(6，－4)，＝(0，2),＝＋，若 C 点在函数 y＝sinx 的图象上,实数＝a →b →c →a →b →π12A．B．C．－D．－523252327．设 0≤θ≤2π 时，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是OP1→OP2→P1P2→（ ） A．B．C．3D．223238．若向量＝(cos,sin)，＝(cos,sin)，则与一定满足（ ）→ a→ b→ a→ bA．与的夹角等于－B．⊥→ a→ b→ a→ bC．∥D．(＋)⊥(－)→ a→ b→ a→ b→ a→ b9．已知向量＝(cos25,sin25)，＝(sin20,cos20)，若 t 是实数，且＝＋t，则||的最小值为→ a→ b→ u→ a→ b→ u（ ）A．B．1C．D．21210．O 是平面上一定点，A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足：＝＝＋(＋)，→OP→OA→AB→AC∈(0,＋∞)，则直线 AP 一定通过△ABC 的（ ） A．外心B．内心C．重心D．垂心 二、填空题11．已知向量＝(sin，2cos)，＝(,－ ).若∥，则 sin2的值为____________．→m→ n312→m→ n12．已知在△OAB(O 为原点)中，＝(2cos，2sin)，＝(5cos，5sin)，若·＝－5，则 S△AOB的→OA→OB→OA→OB4值为_____________.13．已知向量＝(1，1)向量与向量夹角为，且·＝－1.则向量＝__________．→m→n→m3π4→m→n→n三、解答题 14．已知向量＝(sinA,cosA)，＝(,－1)，·＝1，且为锐角.→m→ n3→m → nA(Ⅰ)求角 A 的大小；(Ⅱ)求函数 f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．15．在△ABC 中，A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知向量＝(1，2sinA)，＝(sinA，1＋cosA)，→m→ n满足∥，b＋c＝a.(Ⅰ)求 A 的大小；(Ⅱ)求 sin(B＋ )的值．→m→ n3616．△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，＝(2b－c，a)，＝(cosA，－cosC)，且⊥．→m→ n→m→ n(Ⅰ)求角 A 的大小；(Ⅱ)当 y＝2sin2B＋sin(2B＋ )取最大值时，求角的大小.6B17．已知＝(cosx＋sinx，sinx)，＝(cosx－sinx，2cosx)，→ a→ b（Ⅰ）求证：向量与向量不可能平行；→ a→ b（Ⅱ）若 f(x)＝·，且 x∈[－ , ]时，求函数 f(x)的最大值及最小值．→ a → b4418．设函数，其中向量，( )()f xabcrrr(sin , cos ),(sin , 3cos )axx bxxrr．( cos ,sin ),cxx xR r（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期； xf（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小 xfy dr的．dr19．已知向量．(sin ,1),(1,cos ),22abrr（Ⅰ）若，求；abrr（Ⅱ）求的最大值．abrr5【参考答案参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型三角函数与平面向量综合题的九种类型 【【例例 1】】 【【解解】】 （Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，→ p→ q则 sin2A＝ ，又 A 为锐角，所以 sinA＝，则 A＝ .343（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos( －2B)＝1－cos2B＋ cos2B＋sin2BC－3B2312＝sin2B－ cos2B＋1＝sin(2B－ )＋1.∵B∈(0， )，∴2B－ ∈(－ ，)，∴2B－ ＝ ，解得 B＝ ，12626656623 ymax＝2. 2、、 【【解解】】 （Ⅰ）∵⊥，∴·＝0．而＝（3sinα，cosα） ，＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，→ a→ b→ a → b→ a→ b故·＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于 cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得 tanα＝－ ，或→ a → b43tanα＝ ．∵α∈（，2π） ，tanα＜0，故 tanα＝ （舍去） ．∴tanα＝－ ．12321243（Ⅱ）∵α∈（，2π） ，∴ ∈（，π） ．由 tanα＝－ ，求得 tan ＝－ ，tan ＝2（舍去）32α23443α212α2．∴sin ＝，cos ＝－，∴cos( ＋ )＝cos cos －sin sin ＝－× －×＝－α2α2α23α23α23123、、 【【解解】】 (Ⅰ)∵|－|＝，∴2－2·＋2＝ ，将向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)代入上式得→ a→ b25 5→ a→ a → b→ b45→ a→ b12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝ ，∴cos(α－β)＝ .4535(Ⅱ)∵－ ＜β＜0＜α＜ ，∴0＜α－β＜π，由 cos(α－β)＝－ ，得 sin(α－β)＝ ，又 sinβ＝－，∴cosβ＝，2235455131213∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.33654、【解答解答】因为为的最小正周期，故．因为，( )cos(2)8f xxa bmrr又，故．costan()24a brrcostan()24m由于，所以0422cossin2() cossin 22cossin(22 ) cossin  22cossin2 cossin 2cos(cossin) cossin 1tan2cos1tan．costan()24m练习解：解：（Ⅰ）f(x)＝·＝m(1＋sinx)＋cosx，由 f( )＝2，得 m(1＋sin )＋cos ＝2，解得 m＝1.→ a → b2226(Ⅱ)由（Ⅰ）得 f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋ )＋1，当 sin(x＋ )＝－1 时，f(x)的最小值为 1－.24425、 【解答解答】 （I）因为函数图像过点，所以即(0,1)2sin1,1sin.2因为，所以.026（II）由函数及其图像，得2sin()6yx115(,0), ( , 2),( ,0),636。