浅谈“哥德巴赫猜想”证明方法.doc

1浅谈浅谈““哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想””证明方法证明方法务川自治县实验学校务川自治县实验学校 王若仲王若仲 贵州贵州 564300564300 摘要摘要：对于“哥德巴赫猜想” ，我们来探讨一种证明方法，要证明任一不小于 6 的偶数 均存在有“奇素数+奇素数”的情形，如果我们把“奇素数+奇素数”这样的情形若能转换 到利用奇合数的情形来加以分析，也就是任意给定一个比较大的偶数 2m，通过顺筛和逆筛 的办法，顺筛就是筛除掉集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的全体奇合数；逆筛就是 在集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中再筛除掉偶数 2m 分别减去集合 {1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；以及筛除掉 1 和 （2m-1） 通过这样筛除后，如果集合中还剩下有奇数，那么剩下的奇数必为奇素数，并且 必定只满足“奇素数+奇素数=2m”的情形 关关键键词词：： 哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛德国数学家哥德巴赫在 1742 年提出“哥德巴赫猜想”， 即任何一不小于 6 的偶数均可表为两个奇素数之和。

历史上研究“哥德巴赫猜想”的方法及进展一)比较有名的方法大致有下面四种：（1）筛法， （2）圆法， （3）密率法， （4）三角求和法其中：筛法是求不超过自然数Ｎ（Ｎ＞1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3…qj，筛法的基本出发点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率法（概率法）是函数估值法二)研究的进展途径一：殆素数，即 2m= a1·a2·a3·…·ai+ b1·b2·b3·…·bj殆素数就是素因子个数不多的正整数现设 N 是偶数，虽然现在不能证明 N 是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即 N=A+B，其中 A 和 B 的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过 10现在用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数 N 都可表为 A+B，其中 A 和 B 的素因子个数分别不超过 a 和b显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的a+b”问题的推进 21920 年，挪威的布朗证明了“9+9” 1924 年，德国的拉特马赫证明了“7+7” 1932 年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。

1937 年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”, “4+9”, “3+15”和“2+366” 1938 年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5” 1940 年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4” 1956 年，中国的王元证明了“3+4”稍后证明了 “3+3”和“2+3”1948 年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中 c 是一很大的自然数 1962 年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”， 中国的王元证明了“1+4” 1965 年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3 ” 1966 年，中国的陈景润证明了“1+2 ” 途径二：例外集合，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数在数轴上取定大整数 x，再从 x 往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数x 之前所有例外偶数的个数记为 E(x)我们希望，无论 x 多大，x 之前只有一个例外偶数，那就是 2，即只有 2 使得猜想是错的这样一来，哥德巴赫猜想就等价于 E(x)永远等于 1当然，直到现在还不能证明 E(x)=1；但是能够证明 E(x)远比 x 小在 x 前面的偶数个数大概是 x/2；如果当x 趋于无穷大时，E(x)与 x 的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。

这就是例3外集合的思路 维诺格拉多夫的三素数定理发表于 1937 年第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理 途径三：小变量的三素数定理，即已知奇数 N 可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取 3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确我们可以把这个问题反过来思考已知奇数 N 可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取 3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想这个思想就促使潘承洞先生在 1959 年，即他 25 岁时，研究有一个小素变数的三素数定理这个小素变数不超过 N 的 θ 次方我们的目标是要证明 θ 可以取 0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想潘承洞先生首先证明 θ 可取 1/4后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到 1995 年展涛教授把潘老师的定理推进到 7/120这个数已经比较小了，但是仍然大于 0 途径四：几乎哥德巴赫问题，即 2m=p+q+2kp 和 q 均为奇素数1953 年，林尼克发表了一篇长达 70 页的论文。

在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与 k 个 2 的方幂之和这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的我们注意，能写成 k 个 2 的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的 x，x 前面这种整数的个数不会超过4log x 的 k 次方因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立这里的 k 用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的 k 表示更好的逼近度显然，如果 k 等于 0，几乎哥德巴赫问题中 2 的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想林尼克 1953 年的论文并没有具体定出 k 的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的 k 才能使林尼克定理成立但是按照林尼克的论证，这个 k 应该很大其中有个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到 k=2000目前最好的结果k=13 是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。

数学家们经过上面四个途径的不断探索求证，仍然没有彻底解决哥德巴赫问题现在我们介绍探讨求证“哥德巴赫猜想”的另一种新方法，我在前人筛法的基础上作出了进一步的改进，定义了“顺筛”和“逆筛”这两个基本概念就是任意给定一个比较大的偶数 2m，通过顺筛和逆筛的办法来达到目的顺筛就是筛除掉集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的全体奇合数；逆筛就是在集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中再筛除掉偶数 2m 分别减去集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；如果我们设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√2m 的全体奇素数（pi＜ pj ，i＜j，i、j=1，2，3，…，t） ，t∈N对于“2m=奇数+奇数”（m≥3）来说，就只有下面几种情形：5（1）2m=奇合数+奇合数，（2）2m=奇合数+奇素数，（3）2m=奇素数+奇素数，（4）2m=1+奇合数，（5）2m=1+奇素数我们的目的就是要筛除掉（1）和（2）以及（4）或（5）情形中的所有奇数（因为对于偶数 2m， （4）和（5）的情形不可能同时成立）但是下面这两种情形我们不必分析讨论：①偶数 2m=p+p，p 为奇素数；②集合{（2m-p1）， （2m-p2）， （2m-p3），…， （2m-pt）}中至少有一个奇数为奇素数。

假若（2m-p2）为奇素数，那么 2m=（2m-p2）+p2所以①和②这两种情形，偶数 2m 已经可表为“奇素数+奇素数” 如果我们能够明确的判定在任意设定的集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中，通过顺筛筛除掉集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的全体奇合数，通过逆筛筛除掉偶数 2m 分别减去集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；以及筛除掉 1 和（2m-1） 集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}通过这样筛除后，如果集合中还剩下有奇数，那么剩下的奇数必为奇素数，并且必定只满足“奇素数+奇素数=2m”的情形下面我们举实例阐述这种解决“哥德巴赫猜想”新的基本思想方法首先我们回顾一下 2000 多年前埃拉托斯特尼筛法，埃拉托斯特尼筛法可以用来寻找一定范围内的素数（比如说 m 这个数，m 这6个数不是太大）：操作的程序是先将第一个数 2 留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的 3 留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的 5 留下，将它的倍数全部划掉，┅，如此直到没有可划的数为止例如在 100 内进行这样的操作，可得素数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

我们暂且把前人的这种筛法称为埃拉托斯特尼顺筛，简称顺筛就是通过顺筛，能够把某个很大的偶数 M 范围内的素数全部筛出来，也未必好确定不大于偶数 M 的所有偶数均可表为两个奇素数之和顺筛实际上就是筛出偶数 M 范围内的所有偶数（除 2 外）和所有奇合数如果我们在顺筛的基础上，再配合另外一种筛法，我们暂且把这种筛法称为埃拉托斯特尼逆筛，简称逆筛逆筛就是筛除掉偶数 2m 分别减集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；对于偶数 M 范围内的所有正整数，通过顺筛和逆筛配合筛出后，一定能够判定偶数 M 是否可表为两个奇素数之和我们以偶数 100 为例来阐述，因为“哥德巴赫猜想”针对的是奇素数，而奇素数是从奇数中分离出来的概念，所以我们就排出偶数的情形，只考虑奇数的情形对于偶数 100 以内的全体奇数，首先进行顺筛：（1）筛出 3 的倍数，可得集合 A1={1，3，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61， 65，67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97}7（2）在集合 A1中筛出 5 的倍数，可得集合A2={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67，71，73，77，79，83，89，91，97}。

3）在集合 A2中筛出 7 的倍数，可得集合A3={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97}偶数 100 以内的全体奇数，经过顺筛后，可以得出下面这样的结论：满足“奇合数+奇合数=100”中的全体奇合数，满足“奇合数+奇素数=100”中的全体奇合数，满足“1+奇合数=100”中的奇合数，全部被筛除又因为区间[√100，100]以内的任一奇合数均能被奇素数3，5，7 中的某一个奇素数整除，这种情形扩展开来的一般情形完全可以证明其次进行逆筛：（4）在集合 A3中筛出集合{（100-9） ， （100-15） ， （100-21） ，（100-27） ， （100-33） ， （100-39） ， （100-45） ， （100-51） ， （100-57） ，（100-63） ， （100-69） ， （100-75） ， （100-81） ， （100-87） ， （100-93） ，（100-99）}={91，85，79，73，67，61，55，49，43，37，31，25，19，13，7，1 }中。