线性代数2-2节-方阵行列式的性质.ppt

第二节第二节 方阵行列式的性质方阵行列式的性质 从行列式的定义我们可以看出，要利用从行列式的定义我们可以看出，要利用行列式的定义来计算行列式的值是比较麻行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦的，因为它要涉及到烦的，因为它要涉及到n!项的和，而且每一项的和，而且每一项均为项均为n个因子相乘本节我们将讲述行列个因子相乘本节我们将讲述行列式的一些基本性质，以后我们计算行列式式的一些基本性质，以后我们计算行列式的值主要是采用本节的性质将行列式化为的值主要是采用本节的性质将行列式化为上三角形式或下三角形式，然后利用上上三角形式或下三角形式，然后利用上（下）三角形行列式的值等于其主对角线（下）三角形行列式的值等于其主对角线上元素之积上元素之积                性质性质1（分列（分列/行可加性）行可加性）  若行列式的某一若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则列（行）的元素都是两数之和，则D 等于下列等于下列两个行列式之和：即两个行列式之和：即一、行列式的性质一、行列式的性质=|AT|性质性质性质性质2 2     方阵方阵A A与其转置矩阵与其转置矩阵与其转置矩阵与其转置矩阵AT的的行列式值相等行列式值相等行列式值相等行列式值相等, ,即即即即| |A|=|AT|。

l 由此性质可知，由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位行列式的行与列具有相同的地位，，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然                 性质性质性质性质3 3       若方阵若方阵A的第的第i行行(列列)k倍所得的矩阵为倍所得的矩阵为B，，则则| B| =k|A| 推论推论2.12.1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面子可以提到行列式的外面. .即即 例如例如        性质性质性质性质4 4 若方阵若方阵A经过一次换法变换化为经过一次换法变换化为B，，则则|B|=- -| A|        推论推论2.2  如果行列式有两行（列）完全相同如果行列式有两行（列）完全相同,则则此行列式等于零此行列式等于零.  .        推论推论2.2  如果行列式有两行（列）完全相同如果行列式有两行（列）完全相同,则则此行列式等于零此行列式等于零.        证明证明      把这两行互换，有把这两行互换，有  D=－－D，故，故 D=0.例如例如       推论推论2.3  行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，  则此行列式等于零则此行列式等于零.              性质性质性质性质5 5                消法变换不改变行列式的值。

即若消法变换不改变行列式的值即若B=P(i,j[k])A或或B= A P(i,j[k])，，则则|B|=|A|.此性质由性质此性质由性质1及推论及推论2.3即得l 例如例如二、应用举例二、应用举例       计算行列式常用方法计算行列式常用方法：利用运算　　　：利用运算　　　   把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值式的值．． 例例1 1 计算（计算（教材教材P51例例3.1)         解解   利用行列式的性质利用行列式的性质=40    例例2 2. 计算计算        解解:  利用行列式的性质得利用行列式的性质得(P45)        例例3 3 计算计算 解解:  从倒数的二行开始，把前一行的（从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后）倍加到后一行上去一行上去同理，可得同理，可得 例例4 4 计算计算       解解:  把所有把所有列列都加到都加到第一列第一列上去，然后，从上去，然后，从第一列第一列提提取取公因子公因子，再把第二、三、四行都减去，再把第二、三、四行都减去第一行第一行。

解：解：12rr-（因为第（因为第三行和第三行和第四行元素四行元素相同）相同）例例5 5 计算计算 例例6 6   计算计算    阶行列式阶行列式解解:将将第第                   都加到第一列得都加到第一列得例如例如,教材教材P45P45例例2.22.2中中,a=3,b=1,n=4,a=3,b=1,n=4,故有故有D =48又如又如,教材教材P48(B)1-1),P48(B)1-1), a=1, b=0.5,n=4 a=1, b=0.5,n=4,故有故有D 再如再如,教材教材P48(B)2-1),P48(B)2-1), a=x, b=a a=x, b=a,故有故有D 方阵的行列式是矩阵的一种运算，根据相应的性质，方阵的行列式是矩阵的一种运算，根据相应的性质，方阵的行列式具有如下的运算规律方阵的行列式具有如下的运算规律 设设A、、B均为均为 n阶的方阵，阶的方阵，λ为常数，为常数，m为正整数，则为正整数，则1））| λ A|= λn|A|;2））|AB|=|BA|=|A||B|;3））|Am|=|A|m, 1)显然，显然，3）是）是2）的特例，所以，我们仅证明）的特例，所以，我们仅证明2）） 设设A = (aij), B = (bij)。

记记 2n 阶行列式阶行列式 显然，显然，D = |A||B| ,而在而在 D 中以中以 b1j 乘第乘第 1 列，列，b2j 乘第乘第2列列  ，，…  ，，bnj 乘第乘第 n 列列 , 都加到第都加到第 n + j 列列上上 （（ j = 1 , 2 , … , n ) , 有有D=即即 其中其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj ,故故        C = AB 再对再对 D 的行作的行作 rj ↔ rn+j （（j = 1, 2, … , n ），），有有从而有从而有于是于是           | AB | = | A | | B |D = ( －－1 )n|－－E||C| = ( －－1 )n( －－1 )n| C |    = | C |     = | AB | 值得注意的是值得注意的是，一般，一般|A+B|≠|A|+|B|. 例例7.7.  设设A , B 均为均为 n 阶方阵阶方阵且且证明证明例例8 8(教材教材P48(B)2-2))计算计算 n阶方阵的行列式阶方阵的行列式解解:(利用性质利用性质|AB|=|A||B|)注注: 习题课教程习题课教程P44例例16对本题有另一解法对本题有另一解法.                                       (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立).      2.计算行列式常用方法计算行列式常用方法：：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值，从而算得行列式的值．．三、小结三、小结1.行列式的行列式的5个性质及三个推论个性质及三个推论行列式的概念是基础，行列式的概念是基础，行列式的性质是关键，行列式的性质是关键，行列式的计算是重点，行列式的计算是重点，用行列式解方程组是目的用行列式解方程组是目的. .请大家牢记以下四句话：请大家牢记以下四句话：思考题思考题(教材教材P48（（B）第）第5题题)思考题解答思考题解答解解 （分拆法）将（分拆法）将D拆成两个行列式之和，即拆成两个行列式之和，即　　利用分拆变换计算行列式称为分拆法，此法比较利用分拆变换计算行列式称为分拆法，此法比较适合分拆后所得行列式易于计算或可以抵消，分拆法适合分拆后所得行列式易于计算或可以抵消，分拆法往往需要一定的技巧．往往需要一定的技巧．。