五法搞定空间距离.doc

五法”搞定空间距离空间距离包括点到面、异面直线间、线到面、面到面的距离等多种情况，所以，求空间距离的方法也很多现将五种常用的方法归纳如下：一、 定义法求空间距离,有时我们可按照定义求垂线段或公垂线段的长度所以，只要能找出或作出垂线段或公垂线段，然后利用解三角形等方法就可求出其长度例1、 平面α内有Rt△ABC，∠C=90°，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC，P到平面ABC的距离为40cm,AC=18cm,求点P到BC的距离分析：求点到直线的距离，一般可直接或结合三垂线定理等作出垂线段P解：如图作PO⊥平面ABC，垂足为O∵PA=PB=PC，则AO=BO=COO∴O为△ABC的外心AB又∵∠C=90°，∴O点落在AB边的中点，即PO的长就是DC作OD⊥BC，由三垂线定理知PD⊥BC，∴PD就是点P到BC边的距离，又OD∥AC且OD=AC，∴OD=9，在Rt△POD中，PD==41∴P到BC的距离为41cm二、 转化法在求空间距离时，有时可根据需要实行各种距离之间的相互转化，即：线线距离线面距离面面距离点面距离，从而打开思路，或使解题思路和解题过程简化例2、 如图，正方形ABCD边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB、BC的中点，求直线AC到平面PEF的距离。

分析：要想求直线AC到平面PEF的距离，可在AC上找一点到，求其到平面PEF的距离或到平面PEF上一直线（或一点）的距离即可P解：∵AC∥EF，∴AC∥平面PEF，设AC与BD交于点O,∴AC与平面PEF的距离，就是点O到平面PEF的距离∵EF⊥BD，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，∴平面PEF⊥平面PBD，交线为PG，过O作OH⊥PG于H点，DC则OH⊥平面PEF，∴OH就是O点到平面PEF的距离OHF在Rt△PDG中，OH⊥PG，∴△PDG∽△OHG，GEBA∴，而PD=1，OG=，PG=，∴OH=即直线AC到平面PEF距离是本例的关键是把线面的距离转化为点线距离，再通过解三角形来求解，类似地求面面距离也是转化为点面距离；另一方面求点到面距离还能够转化另一点到平面的距离读者可在解决问题时认真体会其妙处三、 等积法点到面的距离，往往能够用等体积法来解如例2、设O到平面PEF距离为h，则由VO-PEF=VP-OEF得h·S△PEF=PD·S△OEF ，h===等积法关键在于把点到平面的距离看作一个棱锥的一个底面上的高，再将此棱锥用另外的底面及相对应的高求出体积即可四、 向量法利用向量法来求距离常用的方法又有两种，其一是建立直角坐标系，其二是直接利用向量的运算来求解。

例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，求异面直线AA1和BD1的距离分析：充分利用“向量数量积为0向量垂直”这个结论解法一（向量法）：取AA1的中点M，连结MD1、MB，设O为BD1的中点D1C1B1A1，OMD，BAC，∴▪=▪（）=0，∴MO⊥BD1又▪=▪=0，∴MO⊥AA1∴MO是 AA1 与BD1的公垂线段∵︱︱2==z∴︱︱=，故AA1和BD1的距离是D1C1A1解法二（坐标向量法）如图建立空间直角坐标系则A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），B1D1（0，0，1），=（0，0，1），=（-1，-1，1），DCBAy设=（x,y,z）是与的公垂线的方向向量，x由得z=0，x= -y取=（1,-1,0）又=（0，1，0），则d===两种方法均利用向量法求解,但思路却不一样.方法一以向量为工具达到了两个目的,一是找出公垂线段,二是用向量的模得到公垂线段的长度.整体用的还是定义法的思路.方法二同样以向量为工具,但利用公式d=（即在方向上的射影长度）求出距离,思路更加新颖,计算也更加简单此法可用于求点到面、和异面直线间的距离其中，求点到平面距离时，可求点到平面上任一点构成的向量在平面法向量上的射影长度。

求异面直线距离时，可求异面直线各一点构成的向量在异面直线公垂向量上的射影长度五、函数法求距离即求最小值，因此，可结合函数求最值的方法进行如上述例3、设P是直线BD1上的任一点，则有，则P，同理，可设AA1直线上任一点Q（1，0，k），││==≥故AA1和BD1的距离是。