数学建模2草坪积水问题.ppt

微分方程模型,草坪积水问题,露天足球场极易受雨天的干扰每逢下雨只能停赛直至草坪的表层充分干，即或雨水渗透到了底层，或雨停后雨水蒸发到空气中有仪器可以加快其干燥过程，但为了避免损坏草坪，常常让其自然干燥是否可以建立一个数学模型描述这一干燥过程？ 这个问题也可以叙述为：下了一场雨后，是否可以预测比赛何时能恢复？设草坪开始时是干的，突然开始下雨，并以同样的大小持续了半小时假设在半小时中积累了1.8厘米高的水通过分析将与此问题有关的因素列表如下： 因素 变量类别 符号 单位 降雨速度 变量 米/秒 时间 变量 秒 草坪面积 参量 米2 草坪厚度 参量 米 目前在草坪中的雨量 变量 米 蒸发率 变量 米/秒 渗透 变量 米/秒 比例常数 每秒 停雨时间 参量 秒 注：这里Q是用米来度量的，乘以草坪的面积后实际上是水的体积.同样，e和s是用米/秒来度量的，用A来乘成了用立方米来度量的每秒钟内的体积流率。

为了建立这个模型，采用下面的原理： {在草坪中雨水的增加率}={流入率}-{流出率} 由于开始时草坪是干的，即初始条件 由上述原理，必须知道流入、流出和草坪的容量显然，流入率等于降雨率与所考虑的草坪的面积的成绩，即流入率= 为了确定流出率，则必须确定水是如何流出的流出的水将排入底下和蒸发到空气中但在降雨的过程中，蒸发几乎是不可能的，于是仅需考虑渗透假设这与草坪中的含水量成正比，即s(t)=aQ(t)当停止下雨，水除了渗透外还有蒸发蒸发率依赖于空气的温度和湿度蒸发的水来自于湿草坪的表面，为了建模的方便，假设蒸发率与草坪中的水量成正比，即 于是，可得到关于的微分方程：,,,为了使模型能给出有关草坪进水的足够信息，就要对它进行积分，如果给出r(t),a,b的数据就可得到Q(t).前面已经说过降雨率在半小时的时间周期里为常数，即 对于参数a和b的值，可以有两种方法来得到：一是通过深入的理论探讨，从科学的角度找到它们的值；另一种是把它们作为待定的参数，得到数学解，然后通过参数辨别得到a和b的值在此，为了避免这些麻烦就直接给出它们的值a=0.01每秒，b=0.0005每秒 如果取草坪的面积为1平方米，从方程,,积分（1），得 当 时 。

解（2），得 其中 是一个积分常数，它可以从 代入上式得 因此,,,,,,,,上述方程预测了雨停后草坪中水是如何减少的量问题是确定比赛何时才能恢复，即草坪何时才能干燥，也就是说 然而，上述方程是一个负指数函数，按照这个模型 实际上不会为零假设当水量降至其高峰值的10%时就认为草坪时足够干的了要等多长时间，只要在上述方程中令 并取对数，于是有 这样，雨停以后还要等1534秒才能恢复比赛。