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关于矩阵秩的证明 -----09数应 鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组 约定用E表示单位向量，A表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：（1） r(A)=r(A);（2） r(kA)=（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s}(4) r(A)=n,当且仅当≠0(5) r=r(A)+r(B)≤r(6) r(A-B)≤r(A)+r(B)矩阵可以进展加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系定理1：设A,B为n×n阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)证:由初等变换可得→→即=由性质5可得r=r则有r(A)+r(B)≥r(A+B)定理2〔sylverster公式〕设A为s×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n≤r(AB)证：由初等变换可得→→即＝　　　则r=r 即r(A)+r(B)-n≤r(AB)推论(Frobenius公式) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵，C为s×t阶矩阵，则r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P，s阶可逆矩阵Q，使 B=PQ=PQ 令M=P，N=Q则有B=MN根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN)≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)定理3 设A为n×n矩阵，假设A=E，则有r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有〔A+E〕〔A-E〕=O令A+E=A，A-E=A，有AA=O由定理2可知 r(A)+r(A)≤n 即r(A+E)+r(A-E)≤n又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论 设A为n×n矩阵且A=A，则有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有→→→→=则有r=r 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4 设A是s×n实矩阵，有r(E-AA)-r(E-AA)=n-s证:要证r(E-AA)-r(E-AA)=n-s即只要证r(E-AA)+s=r(E-AA)+n由初等变换有→→即=故有r=r=n+r(E-AA)同理可证 r=s+r(E-AA)综上有 n+r(E-AA)=s+r(E-AA)定理5 设A,C均为m×n矩阵，B,D均为n×s矩阵，则有r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得=故r=r故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)参考文献【1】 红星.高等代数选讲【M】.：机械工业，2009.【2】 钱.高等代数题解精粹【M】.：中央民族大学，2005.【3】 徐忡，等.高等代数考研教案【M】.;西北工业大学，2009.. z.。