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第三节二重积分的计算———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 第三节 二重积分的计算(2)有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比拟简单，如圆形或扇形区域的边界等. 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比拟简单的形式，那么应考虑用极坐标来计算这个二重积分.分布图示★ 利用极坐标系计算二重积分★ 二重积分化为二次积分 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 平面薄片的重心 ★ 例11★ 平面薄片的转动惯量 ★ 例12 ★ 例13★ 平面薄片对质点的引力 ★ 例14★ 一般曲线坐标系中二重积分的计算★ 例15 ★ 例16 ★ 例17★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题9-3 ★ 返回内容要点 一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元 ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式 (3.1) 二、二重积分的应用 平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量 三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算 二重积分的一般换元分式.例题选讲在极坐标系下二重积分的计算例1 (E01) 计算其中是由圆所围成的区域.解 如图，在极坐标系下，积分区域的积分限为于是例2 计算二重积分 其中是由所确定的圆域. 解 如图(见系统演示)，区域在极坐标下可表示为故例3 (E02) 计算, 其中积分区域是由所确定的圆环域.解 由对称性，可只考虑第一象限局部,注意到被积函数也有对称性,那么有例4 (E03) 计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域.解 积分区域是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域， 于是区域的积分限为 所以 例5 (E04) 写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域解 利用极坐标变换易见直线方程的极坐标形式为故积分区域的积分限为所以例6 计算, 其中为由圆 及直线 所围成的平面闭区域.解 所以例7 将二重积分化为极坐标形式的二次积分, 其中是曲线 及直线所围成上半平面的区域.解 如图，令那么的边界的极坐标方程分别变为及例8 (E05) 求曲线和所围成区域的面积.解 根据对称性有在极坐标系下 由得交点故所求面积例9 (E06) 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的局部)立体的体积.解 如图，由对称性，有其中为半圆周及轴所围成的闭区域.在极坐标中，积分区域例10 (E07) 计算概率积分解 记其平方于是根据例1的结果,即有 令并利用夹逼定理,得故所求概率积分二重积分的应用例11 (E08) 求位于两圆和之间的均匀薄片的重心〔图9-3-13〕.解 如图，因为闭区域对称于轴，故重心必位于轴上，于是,易见积分区域的面积等于这两个圆的面积之差,即再利用极坐标计算积分:因此所求重心是例12 (E09) 设一均匀的直角三角形薄板〔面密度为常量〕，两直角边长分别为，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.解 设三角形的两直角边分别在轴和轴上，对轴的转动惯量同理,对轴的转动惯量例13 均匀矩形板(面密度为常数)的长和宽分别为和, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解 先求形心区域面积 因为矩形板均匀，由对称性知形心坐标将坐标系平移如图，对轴的转动惯量同理，对轴的转动惯量例14 求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片： 对位于轴上的点处的单位质点的引力解 由积分区域的对称性知故所求引力为在一般曲线坐标系中二重积分的计算例15 (E10) 求椭球体的体积.解 由对称性知，所求体积为其中积分区域：令称其为广义极坐标变换, 那么区域的积分限为又于是特别地，当时，那么得到球体的体积为例16 计算 其中由轴、轴和直线所围成的闭区域.解 令那么区域且 所以例17 (E11) 求曲线所围平面图形的面积.解 如果在直角坐标下计算，需要求曲线的交点,并画出平面图形，还需将积分区域分割成几块小区域来计算面积，很麻烦，现在可巧妙地作曲线坐标变换.作变换那么有由于及由第8章第五节知 从而有于是， 注: 题中利用函数组与反函数组之间偏导数的关系式 来求防止了从原函数组直接解出反函数组的困难. 但在简单情况下，也可以直接解出来直接计算之.课堂练习其中.2. 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离, 求此半圆的重心坐标及关于x轴(直径边)的转动惯量.3. 计算重积分 其中是由直线和所围成.。