2023年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷.doc

全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）阐明：1．评阅试卷时，请根据本评分原则．选取题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其她各题评阅，请严格按照本评分原则评分档次给分，不要增长其她中间档次．2．假如考生解答办法和本解答不同，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则恰当划分档次评分，解答题中5分为一种档次，不要增长其她中间档次．一、选取题（本题满分36分，每小题6分）1．函数在上最小值是 （ C ）A．0 B．1 C．2 D．32．设，，若，则实数取值范畴为 （ D ）A． B． C． D．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，商定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜概率为，乙在每局中获胜概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数盼望为 　　　 （ B ）A. 　 B. 　 C. 　 　 D. 4．若三个棱长均为整数（单位：cm）正方体表面积之和为564 cm2，则这三个正方体体积之和为 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 　 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm35．方程组有理数解个数为 （ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46．设内角所对边成等比数列，则取值范畴是 （ C ）A. B. C. D. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设，其中为实数，，，，若，则 　 5 .8．设最小值为，则．9．将24个志愿者名额分派给3个学校，则每校至少有一种名额且各校名额互不相似分派办法共有 222种．10．设数列前项和满足：，，则通项=．11．设是定义在上函数，若 ，且对任意，满足，，则=．12．一种半径为1小球在一种内壁棱长为正四周体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不也许接触到容器内壁面积是．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数图像与直线 有且仅有三个交点，交点横坐标最大值为，求证： 　．14．解不等式．题15图15．如题15图，是抛物线上动点，点在轴上，圆内切于，求面积最小值．全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形，，是平面上动点，令．（Ⅰ）求证：当达成最小值时，四点共圆；答一图1（Ⅱ）设是外接圆上一点，满足：，，，又是切线，，求最小值．二、（本题满分50分）设是周期函数，和1是周期且．证明：（Ⅰ）若为有理数，则存在素数，使是周期；（Ⅱ）若为无理数，则存在各项均为无理数数列满足 ，且每个都是周期．三、（本题满分50分）设，．证明：当且仅当时，存在数列满足如下条件：（ⅰ），；（ⅱ）存在；（ⅲ），． 全国高中数学联合竞赛一试试题参照答案及评分原则（A卷）阐明：1．评阅试卷时，请根据本评分原则．选取题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其她各题评阅，请严格按照本评分原则评分档次给分，不要增长其她中间档次．2．假如考生解答办法和本解答不同，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则恰当划分档次评分，解答题中5分为一种档次，不要增长其她中间档次．1.[解] 当时，，因而，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因而在上最小值为2．2. [解] 因有两个实根 ，，故等价于且，即且，解之得．3.[解法一] 依题意知，所有也许值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止概率为　　　　 ．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛成果对下轮比赛与否停止没有影响．从而有　　　　，　　　　，　　　　，故．[解法二] 依题意知，所有也许值为2，4，6.令表达甲在第局比赛中获胜，则表达乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得， ， ，故．4.[解] 设这三个正方体棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．若，则，易知，，得一组解．若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．若，则，有唯一解，．若，则，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3． 5.[解] 若，则解得或若，则由得． ①由得． ② 将②代入得． ③由①得，代入③化简得.易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或 6.[解] 设公比为，则，而 　　．因而，只需求取值范畴．因成等比数列，最大边只能是或，因而要构成三角形三边，必须且只需且．即有不等式组即解得从而，因而所求取值范畴是．二、填空题7. [解] 由题意知，由得，，因而，，．8.[解] ，(1) 时，当时取最小值；(2) 时，当时取最小值1；(3) 时，当时取最小值．又或时，最小值不能为，故，解得，(舍去)．9. [解法一] 用4条棍子间空隙代表3个学校，而用表达名额．如　　 表达第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“”都视为一种位置，由于左右两端必要是“｜”，故不同分派办法相称于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领一种“占位法”．“每校至少有一种名额分法”相称于在24个“”之间23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．又在“每校至少有一种名额分法”中“至少有两个学校名额数相似”分派办法有31种．综上知，满足条件分派办法共有253－31＝222种．[解法二]　设分派给3个学校名额数分别为，则每校至少有一种名额分法数为不定方程　　　　　．正整数解个数，即方程非负整数解个数，它等于3个不同元素中取21个元素可重组合：．又在“每校至少有一种名额分法”中“至少有两个学校名额数相似”分派办法有31种．综上知，满足条件分派办法共有253－31＝222种．10.[解] ，即 2 =，由此得 2．令， ()，有，故，因此．11.[解法一] 由题设条件知 ，因而有，故 ．[解法二] 令，则 ，，即，故，得是周期为2周期函数，因此． 12.[解] 如答12图1，考虑小球挤在一种角时状况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四周体中心，，垂足为中心．因答12图1 ，故，从而．记此时小球与面切点为，连接，则．考虑小球与正四周体一种面(不妨取为)相切时状况，易知小球在面上最接近边切点轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四周体答12图2棱长为，过作于． 因，有，故小三角形边长．小球与面不能接触到某些面积为（如答12图2中阴影某些）．　　　　　　　　　 又，，因此．由对称性，且正四周体共4个面，因此小球不能接触到容器内壁面积共为．三、解答题答13图13.[证] 图象与直线 三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，．…5分 由于，，因此，即． …10分因而 …15分 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …20分14.[解法一] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于．　　　　　　　　　　　　　　即　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　…5分分组分解　　　 ，，　　　　　　　　　　 　　…10分因此　　　，　　　　　． …15分因此，即或．故原不等式解集为． 　 …20分[解法二] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于．　　　　　　　　　　　　　　…5分即， ， 　 …10分令，则不等式为， 显然在上为增函数，由此上面不等式等价于 ， …15分即，解得　(舍去)，故原不等式解集为． 　 …20分15. [解] 设，不妨设．直线方程:，化简得 ．又圆心到距离为1， ， …5分故，易知，上式化简得， 同理有． 　　　　　　　　　　　　　 …10分因此，，则．因是抛物线上点，有，则 ，． 　　　　　　 …15分因此 　　．当时，上式取等号，此时．因而最小值为8． …20分全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参照答案及评分原则阐明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分原则评分档次给分；2．假如考生解答办法和本解答不同，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则恰当划分档次评分，10分为一种档次，不要增长其她中间档次．一、[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上任意点，有答一图1 ．因而 ．由于上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号。