附录A截面图形的几何性质.ppt

附附 录录 A A截面图形的几何性质 为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质 形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径 移轴定理移轴定理移轴定理移轴定理 转轴定理转轴定理转轴定理转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主轴与形心主轴、主惯性矩与形心   主惯主惯主惯主惯            性矩性矩性矩性矩 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的确定组合图形的形心主轴和形心主矩的确定组合图形的形心主轴和形心主矩的确定组合图形的形心主轴和形心主矩的            方法方法方法方法 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论一一 为什么要研究截面图形为什么要研究截面图形            的几何性质的几何性质◆◆◆◆   实际构件的承载能力与变形形式有关，实际构件的承载能力与变形形式有关，实际构件的承载能力与变形形式有关，实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面不同变形形式下的承载能力，不仅与截面不同变形形式下的承载能力，不仅与截面不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。

的大小有关，而且与截面的几何形状有关的大小有关，而且与截面的几何形状有关的大小有关，而且与截面的几何形状有关◆◆◆◆   不同的分布内力系，组成不同的内力分不同的分布内力系，组成不同的内力分不同的分布内力系，组成不同的内力分不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量这些几何量量时，将产生不同的几何量这些几何量量时，将产生不同的几何量这些几何量量时，将产生不同的几何量这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几不仅与截面的大小有关，而且与截面的几不仅与截面的大小有关，而且与截面的几不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关何形状有关何形状有关何形状有关     研究杆件的应力与变形，研究失效问题研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量与截面图形的几何形状和尺寸有关的量这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等  为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质 二、二、形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系一 形心对于等厚度的平板，其重心坐标对于等厚度的平板，其重心坐标若 形心坐标形心坐标 形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系y yz zO Od dA Az zy y图形对于图形对于图形对于图形对于   y y 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于图形对于图形对于   z z 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩量纲：量纲：[长度长度]3 ，可正、可负、可为零，可正、可负、可为零 形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系静矩与形心坐标之间的关系静矩与形心坐标之间的关系     已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标     已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩形心轴的概念；对称轴为形心轴形心轴的概念；对称轴为形心轴 形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系对对于于组组合合图图形形例例1  求形心位置求形心位置解解： 建立参考坐标系建立参考坐标系oyzyz对于由型钢组合的截面图形，对于由型钢组合的截面图形，必须查表必须查表确定确定各个图形的各个图形的  面积、形心坐标等参数面积、形心坐标等参数！！！！！！例I.1 解w同样可求得组合图形形心位置和静矩的计算例例I.2 求形心求形心C的位置的位置例例I.3 求截面形心求截面形心C的位置的位置 二、二、惯性矩、惯性积、极惯惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径性矩与惯性半径－－－－图形对图形对图形对图形对   y y 轴的轴的轴的轴的惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩－－－－图形对图形对图形对图形对   z z轴的轴的轴的轴的惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩－－－－图形对图形对图形对图形对   y z y z 轴的轴的轴的轴的惯性积惯性积惯性积惯性积－－－－图形对图形对图形对图形对   O O 点的点的点的点的极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径y yz zO Od dA Az zy yr rA A量纲：量纲：[长度长度]4－－－－图形对图形对图形对图形对   y y 轴的轴的轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径－－－－图形对图形对图形对图形对   z z 轴的轴的轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径y yz zO Od dA Az zy y＞＞ 0＞＞ 0＞＞ 0＞＞ 0, ＜＜ 0 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径若有一轴为对称轴，则若有一轴为对称轴，则y yz zO Od dA Az zy y 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径y yz zO Od dA Az zy yr rA A例例2 已知：圆截面直径已知：圆截面直径d 求求：Iy， Iz 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径d dr rd dr rd dA AC Cz zy y 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径已知：矩形截面已知：矩形截面b× h求求：Iy， IzC Cz zy yb bh hz zd dz zd dA Ay yd dy yd dA A例例I.4 求对对称轴求对对称轴y和和z的惯性矩的惯性矩Iy=?例例I.5 求形心轴的惯性矩求形心轴的惯性矩例例I.5 解解如何求解如何求解?有对称截面图形的惯性积有对称截面图形的惯性积z’Iyz’=?         思思 考考 题题判断判断        的正负的正负w当图形对于某一特定轴的惯性矩或惯性积已知时，如何求图形对于与之平行的另一轴的惯性矩或惯性积？w如何求组合图形的惯性矩或惯性积？ 平行平行移轴定理移轴定理  移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。

即通过矩、惯性积之间的关系即通过已知图形已知图形对对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另另一对坐标一对坐标的惯性矩与惯性积的惯性矩与惯性积 移轴定理移轴定理A Ay yz zO Od dA Az zy yy y1 1z z1 1O O´ ´ 移轴定理移轴定理 y1=y＋b z1=z＋a 已知已知： Iy、Iz、Iyz求：求： Iy1、Iz1、Iy1z1z z1 1y y1 1ab 移轴定理移轴定理 y y y1 11= = =y y y＋＋＋b b b z z z1 11= = =z z z＋＋＋a a a A Ay yz zO Od dA Az zy yy y1 1z z1 1O O´ ´z z1 1y y1 1ab 移轴定理移轴定理如果如果如果如果y y、、z z轴通过图形形心轴通过图形形心轴通过图形形心轴通过图形形心，，上述各式中的上述各式中的上述各式中的上述各式中的S Sy y＝＝S Sz z＝＝0 0，，  移轴定理移轴定理因为面积及包含因为面积及包含因为面积及包含因为面积及包含a a2 2、、、、b b2 2的项恒为正，故自形心轴移至的项恒为正，故自形心轴移至的项恒为正，故自形心轴移至的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。

与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的a a、、b b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时二者的正负号；二者同号时二者的正负号；二者同号时二者的正负号；二者同号时abAabA为正，异号时为负为正，异号时为负为正，异号时为负为正，异号时为负所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少在所有互相平行的轴中，截面对形心轴的惯性在所有互相平行的轴中，截面对形心轴的惯性矩最小矩最小假定假定x,yx,y为形心轴则有以下结论：为形心轴则有以下结论：若只沿轴或轴若只沿轴或轴若只沿轴或轴若只沿轴或轴移动，惯性积不变移动，惯性积不变移动，惯性积不变移动，惯性积不变例例  求右图对形心轴的惯性矩、惯性积求右图对形心轴的惯性矩、惯性积解：解：zy例例I.6计算对于形心轴yc的惯性矩Iyc例例I.6 解解例例I.7w求组合图形对形心轴的惯性矩及惯性积z=0.51m例例I.8w求对y,z轴及形心轴yc,zc轴的惯性积例例I.8 解解        思思 考考 题题bzhy已知求  转轴定理转轴定理    所谓所谓转轴定理转轴定理是是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

 转轴定理转轴定理z zy yO Oz z1 1y y1 1  d dA Az zy yz z1 1y y1 1已知已知： Iy、Iz、Iyz、求：求： Iy1、Iz1、Iy1z1 转轴定理转轴定理z zy yO Oz z1 1y y1 1  d dA Az zy yz z1 1y y1 1 转轴定理转轴定理    图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变  主轴与形心主轴、主惯主轴与形心主轴、主惯       性矩与形心主惯性矩性矩与形心主惯性矩 主轴与形心主轴、主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩             与形心主惯性矩与形心主惯性矩z zy yO Oz z1 1y y1 1  d dA Az zy yz z1 1y y1 1 主轴与形心主轴、主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩             与形心主惯性矩与形心主惯性矩从而确定了一对互相垂直的坐标轴从而确定了一对互相垂直的坐标轴y0轴轴z0轴。

轴 当当当当  改变时，改变时，改变时，改变时，I Iy yl l、、 I Iz zl l的数值也发生变化，而当的数值也发生变化，而当的数值也发生变化，而当的数值也发生变化，而当 = = 0 0或或 = = 0 0+90+90时，二者分别为极大值或极小值时，二者分别为极大值或极小值时，二者分别为极大值或极小值时，二者分别为极大值或极小值z zy yO Oz z1 1y y1 1  d dA Az zy yz z1 1y y1 1 主轴与形心主轴、主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩             与形心主惯性矩与形心主惯性矩I Iy y0 0、、 I Iz z0 0－－主主主主惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩坐标轴坐标轴y0轴轴z0轴称为主惯性轴轴称为主惯性轴 对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为而通过形心的主轴称为而通过形心的主轴称为而通过形心的主轴称为形心主轴形心主轴形心主轴形心主轴，图形对形心，图形对形心，图形对形心，图形对形心主轴的主轴的主轴的主轴的I I I Iy y y y惯性矩称为形心主惯性矩，简称惯性矩称为形心主惯性矩，简称惯性矩称为形心主惯性矩，简称惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心形心形心形心主矩主矩主矩主矩。

工程计算中有意义的是形心主轴与形心工程计算中有意义的是形心主轴与形心工程计算中有意义的是形心主轴与形心工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩 主轴与形心主轴、主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩             与形心主惯性矩与形心主惯性矩 有有对称轴截面的惯性主轴对称轴截面的惯性主轴z zy yC Cd dA Ad dA Ay yy yz z-z -zIyz= = (yizidA- yizidA)=0        当图形有一根对称轴时，当图形有一根对称轴时，当图形有一根对称轴时，当图形有一根对称轴时，对称轴即为主轴对称轴即为主轴对称轴即为主轴对称轴即为主轴   主惯性轴、主惯性矩及形主惯性轴、主惯性矩及形心主惯性轴心主惯性轴 w主惯性轴（主轴）—— 对应的惯性积 Iyz=0w主惯性矩—— 对主惯性轴的惯性矩w形心主惯性轴—— 过形心的主惯性轴w形心主惯性矩—— 对形心主惯性轴的惯性矩w形心主惯性平面—— 形心主惯性轴与轴线构成w注：对称轴是形心主惯性轴 纵向对称面是形心主惯性平面 作业I-5, 8, 9(b), 10 确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法 确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法        工程计算中应用最广泛的是组合图形工程计算中应用最广泛的是组合图形工程计算中应用最广泛的是组合图形工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。

为此，心的主轴之惯性矩为此，心的主轴之惯性矩为此，心的主轴之惯性矩为此，必须首先确必须首先确必须首先确必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置定图形的形心以及形心主轴的位置定图形的形心以及形心主轴的位置定图形的形心以及形心主轴的位置    确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法     因为组合图形都是由一些简单的图形因为组合图形都是由一些简单的图形因为组合图形都是由一些简单的图形因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主所以在确定其形心、形心主轴以至形心主所以在确定其形心、形心主轴以至形心主所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。

理    确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法1 1   将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置的形心位置的形心位置的形心位置      2 2   以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设OyzOyz坐标系坐标系坐标系坐标系y y、、z z 轴轴轴轴   一般与简一般与简一般与简一般与简单图形的形心主轴平行确定简单图形的形心主轴平行确定简单图形的形心主轴平行确定简单图形的形心主轴平行确定简   单图形对自身形心轴单图形对自身形心轴单图形对自身形心轴单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴的惯性矩，利用移轴的惯性矩，利用移轴的惯性矩，利用移轴   定理（必要时用转轴定理）确定定理（必要时用转轴定理）确定定理（必要时用转轴定理）确定定理（必要时用转轴定理）确定各个简单各个简单各个简单各个简单   图形对图形对图形对图形对y y、、z z轴的惯性矩和惯性积，相加（空轴的惯性矩和惯性积，相加（空轴的惯性矩和惯性积，相加（空轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的洞时则减）后便得到整个图形的洞时则减）后便得到整个图形的洞时则减）后便得到整个图形的I Iy y、、I Iz z 和和和和I Iyzyz。

   4 4   计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩I Iy y0 0和和和和I Iz z0 0   3  3 确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与   z 轴的夹角轴的夹角轴的夹角轴的夹角 确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法例例例例       题题题题    图形尺寸如图所示，求：图形尺寸如图所示，求：图形的形心主矩图形的形心主矩 确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法   例例例例     题题题题1 1．将所给图形分解为简单图形的组合．将所给图形分解为简单图形的组合  确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法   例例例例     题题题题2.2.2.2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置 yzyC 确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法例例例例       题题题题yzyCyz I Iy y0 0= =I Iy y0 0(Ⅰ)+(Ⅰ)+I Iy y0 0(Ⅱ) (Ⅱ)  确定组合图形的形心主轴确定组合图形的形心主轴          和形心主矩的方法和形心主矩的方法例例例例     题题题题yz Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)  结论与讨论结论与讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？ 结论与讨论结论与讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？aa 结论与讨论结论与讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？aax xy y 结论与讨论结论与讨论a a+ +a a- -= =2cosI2sin2IIIxyyxyx11 结论与讨论结论与讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？ 作业I-5, 8, 9(b), 10。