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离散型随机变量典型题1．有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，记1）求的分布列；（2）求和解：（1）可能取的值为0、1、2、4 ……（2分） 且，，， ……（6分）所求的分布列为： 0124 ……（8分）（2）由（1）可知， ……（11分） ……（14分）2．（本题满分14分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η. （1）分别求ξ和η的期望； （2）规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率. 解ξ的可能取值为0，1，2，3则ξ的分布列为ξ0123则Eξη的可能取值为0，1，2则η的分布列为η012则Eη=所以ξ、η的数学期望分别为、1（2）P(ξ>η)= P(ξ<η)= / 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为。

3．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率； （2）求解出该题的人数的数学期望和方差.解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.484．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.（Ⅰ）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（Ⅱ）求随机变量的期望E解（I）依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6…………2分因为P（=2）=；P（=3）= P（=4）=；P（=5）=； P（=6）=；…………7分所以，当=4时，其发生的概率P（=4）=最大…………8分（Ⅱ）E=………………12分5．（本小题满分12分）A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜. （1）用x、y、z表示B胜的概率； （2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：①A1：“A、B均取红球”；②A2：“A、B均取白球”；③A3：“A、B均取黄球”.（2）由（1）知，于是，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为6．某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；(2)若5人中恰有r人合格的概率为，求r的值；(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。

解：(1)体育教师不坐后排记为事件A，则2）每位考生测试合格的概率，测试不合格的概率为则，即，∴， (3)∵～ ∴ 7．袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差解（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值为1，2，3，4，5，易知，，故随机变量的概率分布列为：12345P …………….6分（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，所求概率分布为123…n…P……8．如图，一辆车要直行通过某十字路口，这时前方刚好由绿灯转为红灯.该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率为，左转行驶的概率.该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求：（1）前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率为多少？（2）该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）（3）假设每次由红灯转为绿灯的瞬间，所有排队等候的车辆都同时向前行驶，求该车在这十字路口候车时间的数学期望。

（1）（2）（3）设该车在十字路口停车等候时间为t，则时间 t的分布列为时间t(min)13概率P则停车时间的数学期望为9．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验.（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次.求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望 解：（Ⅰ）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即： …………………………4′ （Ⅱ）依题意有： 12345………………………6′ ………………………4′10．从分别写有的九张卡片中，任意抽取两张，计算：（Ⅰ）卡片上的数字都是奇数的概率；（Ⅱ）当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中成功次数的数学期望。

Ⅰ）；（Ⅱ）一次试验成功的概率为，从而，故11．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格Ⅰ）求甲答对试题数的概率分布及数学期望Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：0123…………4分　　　甲答对试题数的数学期望：……………………………………4分（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为　　　则　　　　…………………理9分（文6分）　　　　甲、乙两人考试均不合格的概率为：　　∴甲、乙两人至少一个合格的概率为………理文均12分12．一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是I）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（II）求这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率 解：（1）这位司机在第一、第二个交通岗都未遇到红灯，第三个交通岗遇到了红灯 所以 6分（II）这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率为 13分13．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(I) 求文娱队的人数；(II) 写出的概率分布列并计算．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人． (I)∵，∴．……………………………………3分即．∴．∴x=2． ……………………………………5分故文娱队共有5人．……………………………………7分(II) 的概率分布列为012P，……………………………………9分，……………………………………11分∴ =1． …………………………13分14．一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数，其中A的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为，例如：，其中，，记。

当启动仪器一次时，（1）求的概率；（2）求，且有3个1连排在一起其余无任2个1连排在一起的概率解：（1）；（2）（注：分三类1110---；110---；10---）15．如图A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的最大信息量分别为1、1、2、2、3、4，现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量；①、设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，才能保证信息畅通，求线路信息畅通的概率；②求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望112234解：① 即线路信息畅通的概率为……………………6分②信息总量x分布列x456789P线段同过信息量的数学期望为6.5．．．．．．．．．．．．．．13分16．某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.（1） 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ（结果保留两位有效数字）；（2） 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.解：(1)ξ的可能取值为1，2，3，4，ξ=1时，P（ξ=1）=0.7ξ=2时，P（ξ=2）=0.7(1-0.7)=0.21;ξ=3时，P（ξ=3）=0.7(1-0.7)2=0.063ξ=4时，P（ξ=4）=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.∴ξ的分布为ξ1234P0.70.210.0630.027∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4(2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.0917、 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值. (1。