复变函数习题标准答案第4章习题详解.pdf
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1 / 5 第四章习题详解1下列数列na是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：1)minian11；2)nnia21；3)11niann；4)2innea；5)21innena2证明：1111110aaaaaann,lim不存在，3判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：1)1nnni；2)2nnniln；3)0856nnni；4)02nnincos4下列说法是否正确？为什么？1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；3)每一个在0z连续的函数一定可以在0z的邻域内展开成泰勒级数5幂级数02nnnzc能否在0z收敛而在3z发散？6求下列幂级数的收敛半径：1)1npnnz（p为正整数）；2 / 5 2)12nnnznn!；3)01nnnzi；4)1nnnize；5)11nnznich；6)1nninzln7如果0nnnzc的收敛半径为R，证明0nnnzcRe的收敛半径R提示：nnnnzczcRe 8证明：如果nnncc1lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径nnzc；111nnznc；1nnznc9设级数0nnc收敛，而0nnc发散，证明0nnnzc的收敛半径为1。
10 如果级数0nnnzc在它的收敛圆的圆周上一点0z处绝对收敛， 证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛11 把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径：1)311z；2)2211z；3)2zcos；4)shz；5)chz；6)22zezsin；7)1zze；3 / 5 8)z11sin12 求下列各函数在指定点0z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：1)11zz，10z；2)21 zzz，20z；3)21z，10z；4)z341，iz10；5)tgz；40z；6)arctgz；00z13 为什么在区域Rz内解读且在区间RR,取实数值的函数zf展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？14 证明在zzzf1c o s以z的各幂 表出的洛朗展 开式中的各 系数为20221dncncoscoscos，,210n提示：在公式844.中，取C为1z，在此圆上设积分变量ie然后证明nc的积分的虚部等于零 15 下列结论是否正确？用长除法得4321zzzzzz3211111zzzzz因为011zzzz所以0111143232zzzzzzz16 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：4 / 5 1)2112zz，21z；2)211zz，11z，110z；3)211zz，110z，21z；4)ze11，z1；5)izz21，在以i为中心的圆环域内；6)z11sin，在1z的去心邻域内；7)4321zzzz，43z，z4。
17 函数ztg1能否在圆环域RRz00展开成洛朗级数？为什么？18 如果k为满足关系12k的实数，证明02211nnkknkcossinsin02211nnkkknkcoscoscos提示：对kz展开1kz成洛朗级数，并在展开式的结果中置iez，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等 19 如果C为正向圆周3z，求积分Cdzzf的值设zf为：1)21zz；2)zzz12；3)211zz；5 / 5 4)21 zzz20 试求积分Cnndzz2的值，其中C为单位圆1z内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。
