双线性法设计IIR滤波器.docx

O引言滤波器从广义上来说对特定的频点或频点以外的频率进行有效滤波的电路，这种电路保 留输入信号中的有用信息，滤除不需要的信息，从而达到信号的检测、提取、识别等不同的 目的如果处理的信号是时域离散信号，那么相应的处理系统就称为数字滤波器，由于在实 际工作中被处理的信号都是幅度量化的数字信号，因此，数字滤波器实际上是用有限精度的 算法实现一个线性时不变的时域离散系统目前，数字滤波器的应用越来越广泛，它已深入 到很多领域，如图象处理、医学生物信息处理、地质信号处理和模式识别处理等数字滤波器的种类很多，分类方法也不同，可以从功能上分类，也可以从实现方法上及 设计方法上来分类等等滤波器在功能上总的可分为四类，即低通(LP)、高通(HP)、带通 (BP)、带阻(BS )滤波器等，从实现方法上，由有限长冲激响应的数字滤波器被称为FIR滤 波器，具有无限长冲激响应的数字滤波器称作IIR滤波器1 IIR滤波器的设计1. 1双线性变换法的基本原理本文中用的是双线性变换法，因此这里简单介绍一下双线性变换法的S域与Z域间的 变换关系为：由式(1)可以看出，z和s之间可以直接代换，由于这是一非线性变换，需考察一下是否能 把jQ映射成单位圆，以及是否能将s域左半平面映射到单位圆内部。

对于5平面上的虚轴jQ,用s=jQ代入式(i)得：1+(¥)加 fYTZ =——|—=护理2)=严w = 2arctan\z\=l可见:上式表明S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jQ)经映射后确已成为z平 面上的单位圆，但Q与为非线性关系，因此，通过双线性变换后两个滤波器的频率特性形 状不能保持相同，双线性变换不存在混迭效应对于s域的左半平面，用s=o+jQ入式(i),得到：1+（壬）a 十 j1 - （壬）G+jd）由此得:此式表明，当o

对这个过程所要求的步骤是：=栄，仏=栄;1）选取T并确定模拟频率： 利用设计参数Qp, Qs, Rp和As,设计一个模拟滤波器Ha（s）；这可以利用模拟滤波器的原型来完成；3）再将⑴代入Ha（s），求出 H（z）本文给定数字滤波器特性为：通带：0.99《I H（沪）I Ml. 01 0

下面给出Butterth滤波器逼近的方法首先确定阶数N和截止角频率，根据指标要求列出:解得:N =1.68062ig（np/a）现要使通带指标富裕，则nc = ——八 — \2N y（10Vl0-l）由此得到巴特沃兹滤波器极点分布为:= 1.6806/劈=-0.1120 + 0.9937154 = 59* =1.6806” 28 = -0.8467 + 0.53201$5 = $8 * = 1 • 6806/条=-0.9439 + 0.3303i56 = s7* = 1.6806? 28 = -0.9937 + 0.11201•••模拟滤波器的转移函数为:把$ = 2（巳二）代入上式得1^(70.022)1乔=0.9802teF=0 0009He I1/4()0.033)1=-=J 1 +Si 一 S]2= 1.6806? 28 = 一 0.3303+ 0.9439i皿=1.6806^ 28 = -0.5320 + 0.8467i$3= $10*=1.6806/笏=-0.7071 + 0.70711H( C = $14 十 8.9314 丿彳十 39.8850严 + 而 7337」】+1256.1214s" + 433.7284“ + 589.0206? + 651.2664?+ 589.0206s6 + 433.7284s5 + 256.1214s1 + 117.7337s3+ 39.8850s2+ 8.1314s+1(0.0001+ 0.0011汀1十0.0071/2 + 0 0284/3 + H(切-―1 - 1.5395z _ 1 + 2.9473z _2 - 2.8363z_3 +— 0.0782z'4 + 0.1563g-5 + 0.2345z-6 + 2.7482z - ° -1.77032—5 十 1.0616z 一° 一 0.4647z刁0.2680疔7 + 0.2345八 + 0.1563/9 + °(^乂- 】。

0.1794z_8-0.0516z~9 + 0.0123z~100.O284n_h 十0.OO71z_i2 + 0 oonzT3 + 0.OOQlz_i4-0.0021Z-11+ 0.0003Z-122 IIR滤波器的MATLAB实现模拟型滤波器的设计过程，步骤繁琐，计算量大在MATLAB中，我们可以直接根据所 给定的数字滤波器指标调用特定的函数来确定滤波器的系统函数具体实现过程如下（程序 的主要部分，且只返回数字滤波器的阶数和截止频率）：为调用阶数选择函数，下面的指标已经把Wp和Ws对n进行了归一化，且函数中返回 的频率也是归一化频率滤波器指标,^ = 0.1737,^ = 60Wp= 1.4530,叱=2.7528 %实现ButterWorth数字滤波器[Nbutt,Wcbutt] = buttord ( Wp, Ws, Rp, As);%确定ButterWorth的阶数和截止频率[Bbutt,Abutt] = butter ( Nbut t, Wcbutt);%确定Butterworth滤波器的系统函数[Hbutt, Wbutt] = f reqz( Bbutt, Abu tt ,501); % 计算频率响应同理可实现 ChebyshevI、ChebyshevII、ellipSe 数字滤波器。

Butterworth 型和 ellipke 型系统的幅频和相频特性如图l； ChebyshevI与ChebyshevII系统的幅频和相频特性如图 2（频率为对n归一化频率）频率/弧度频率/弧度图1 Butterworth和ellipke系统的幅、相频特性1|—0.8 —- 凰 0.6 ―― 罟 0.4 •—0.2 ■…°0 0.5频率/弧度 10.8 巒0.6B 0.40.2°04r—2…一4iI P■丁—…T … -HL-1-41% 频率/弧度频率/弧度频率/弧度图2 Chebyshev I与Chebyshev口系统的幅、相频特性3结论从图中我们可以看出，ButterWorth滤波器的频率特性是平坦的，没有出现波动，即幅 度随着频率单调递减，它的相频特性接近于分段特性而椭圆滤波器幅频特性存在着波纹（图 中由于坐标比例的关系，只能画出通带波纹，阻带波纹则无法显示）；同时，它不具备线性 相位特性两种契比雪夫滤波器的频率特性如图所示从中可知道，这两种滤波器的幅频特 性都有着波动（其中，由于CII型滤波器是在阻带中出现等波动，因此无法表示出来），它们 不具备线性相位特性为了比较这四种滤波器的性能高低，我们比较了实现相同的指标所需的最低滤波器阶数: Nbutt=i4； Nchebl=8； Ncheb2=8； Nelli=6。

这样可以清楚地看出：ButterWorth滤波器需要最高的阶数14；两种契比雪夫滤波器所 需要的阶数是一样的8阶，说明它们具有相同的性能；而椭圆滤波器具有最小的阶数4,说 明它的性能在这个意义上是最优的。