决胜中考——探索性数学问题0324.doc

初中数学开放性探究性试题及解题策略瑞金市壬田初中 谢清灵个人邮箱：ruijinxieqingling@ ：1084733389 ：13807975755随着基础教育课程改革和素质教育的全面推进，近几年在初中数学教学中和各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料一、数学开放题的概述1、关于数学开放题的几种论述：所谓开放性试题：是指那些条件不完善，结论不明确、不惟一，解法无限制的一类试题它是相对于   传统型试题而言的两者的主要区别在于：传统型试题的条件是完备的，结果是确定的（唯一的）：而开放性试题则是，要么条件不完备，要么结论不确定、不惟一，需要解题者自己去探索.主要有如下的论述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；（2）开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；（3）有多处正确答案的问题是开放题。

这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；（4）答案不唯一的问题是开放性的问题；（5）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；（6）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余，称之为开放题正因如此，开放性试题有利于学生的创造性思维的培养，更有利于学生素质的提高，之所以越来越受到命题者的青睐2、数学开放题的基本类型：大概包括以下几种： （1）条件开放型这类问题一般是由给定的结论，反思，探索应具备的条件，而满足结论的条件并不唯一A DC EB1 2例1、如图，AB=DB，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE，则需添加的条件是 2）结论开放型这类题目就是在给定的条件下，探索响应的对象是否存在它有结论存在和结论不存在两种情况其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出准确的判断DBCA例2、如图，⊙O的直径AB为6，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD=m∠ACD，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，请求出m的值；如果不存在请说明理由。

简析：假设存在正实数m，使弦CD最短，则有CD⊥AB于P，从而cos∠POD=OP:OD， 因为，AB=6，所以cos∠POD=30°于是∠ACD=15º，∠BCD=75º，故m=53）策略开放性类型——解题策略（或方法）有多种，可根据问题情景寻求解法的一类问题例3、计算：，学生可能出现以下几种方法方法1：直接通分，相加后再约分方法2：原式=方法3：原式=.方法1是常规方法；方法2体现的是一种化归思想，但也不简单；方法3转化为一些互为相反数的和来计算，显然新颖、简便4）、综合开放性类型（组合开放型）也叫条件、结论同时开放试题——条件结论都不全或未知，需根据问题情景补充条件和结论这类型的试题的开放度大，相应难度高，突出考查的是寻求过程的多样性，解题的核心是怎样通过题设条件去联想、类比、归纳和猜想结论，追求的是解决实际问题的数学思想和方法的多样性）此外，设计开放型、举例开放型、实践开放型、信息开放型（限于篇幅不举例子）还有综合开放型情境开放型……等这些开放题的条件、问题变化不定，有的条件隐蔽多余，有的结论多样，有的解法丰富等二、开放题具有不同于封闭题的显著特点（1）数学开放题内容具有新颖性，条件复杂、结论不定、解法灵活、无现成模式可套用。

题材广泛，贴近学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题2）数学开放题形式具有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的寻找多种解法，有的由变求变，体现现代数学气息，不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板的叙述3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方向4）数学开放题教育功能具有创新性，正是因为它的这种先进而高效的教育功能，适应了当前各国人才竞争的要求三、开放探索性试题备考策略：（一）数与式的开放题此类题常以找规律的阅读题形式出现，解题要求能善于观察分析，归纳所提供的材料，猜想其结论例题：观察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 ……这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： 策略小结：此类“猜想性”开放题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想。

二）方程开放题此类问题主要以方程知识为背景，探索方程有解的条件或某种条件解的情况，求字母参数的值例题：是否存在k，使关于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的两个实数根x1、x2，满足|x1-x2|=10如果存在，试求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由策略小结：此类“存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾，否定存在性三）函数开放题xyO-1此类题是以函数知识为背景，设置探索函数解析式中字母系数的值及关系，满足某条件的点的存在性等例题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，问由此图像中所显示的抛物线的特征，可以得到二次函数的系数a、b、c的哪些关系和结论分析：①a>0；②即2a+3b=0；③c= -1；……策略小结：此类“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此类题的重要数学思想方法四）几何开放题此类问题常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系DOAF B COA DE B CF例题：如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E。

1）求证：AB·DA=CD·BE（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图2注明条件，不要求证明）分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题其解法是“执果索因”，要得到AB·DA=CD·BE，即要得△ABE～△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加条件：∠BAE=∠ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FA∥BD，或∠BCF=∠ACD等策略小结：此类探索性试题，解答一般方法是“执果索因”，能画出图形要尽量画出图形，再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件，为探索结论，可以作辅助线，对于结论未定的问题，也可反面思考，寻求否定结论的反例，达到目的五）综合性开放题此类问题是以几何、代数综合知识为背景，考查分析，推理能力，综合运用知识解题能力例题：如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=3，在BC边的延长线上取一点D，使CD=31）现有一动点P，由A沿AB移动，设AP=t，S△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量的取值范围；（2）在（1）的条件下，当t=时，过点C作CH⊥PD垂足为H；求证：关于x的二次函数y= -x+2-（10k—）x+2k的图像与x轴的两个交点关于原点对称；（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=CD，如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由。

分析：（1）（2）略4）假设存在实数根t，使得CH=CD，则∠CDH=30º可推得∠BPD=90º，则BP=BD=2.5>AB，这与P在AB边上矛盾，故这样的P点不存在策略小结：此类综合性开放题，需要学生综合题设条件，通过观察，比较、联想、猜测、推理、判断等探索活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”，再探求特殊位置下应满足的条件，利用分类讨论思想，各个击破常见的开放题举例：例1：在多项式4x2+1中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 （只写出一个即可）分析：要使多项式4x2+1成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可添加常数项解：（1）添加4x可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式12例2：已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 （写出满足条件的一个k的值即可）分析：对于反比例函数（是常数，≠0）当它的图象在第一、第三象限时有>0，所以本题中应该是-2>0，即>2。

解：-2>0 ∴>2 即只要的值大于2就可以满足题目要求例3：已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，如图，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是：（只须写出三种情况） （1） （2） （3） 分析：根据题目所给条件，要使得EF是⊙O的切线，关键是找到AB⊥EF的条件即可解决问题解：（1）∠CAE=∠B （2）AB⊥EF （3）∠BAC+∠CAE=90º （4）∠C=∠FAB （5）∠EAB=∠BAF例4：已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）分析：如果一元二次方程有解，则有两个解，题目给出方程有一个根为1，我们可以将此一元二次方程写成（x-1）（x+a）=0的形式，则问题可以解决总之，开放性问题变化无穷、生动活泼、灵活多样、一改学生死搬硬套的解题模式，消除学生模仿死记解题的习惯，从不同角度对问题的深思熟虑，寻求多样性的解题方法，以上仅仅是笔者几年来教学的心结，有不完善的地方还需要今后的教学中不断探索、实践，但我们的目标是坚定的，为培养开放型、创造型人才而努力工作 动态几何问题动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查学生的综合分析和解决问题的能力。

有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了本人只是用2010年的部分中考数学试题加以说明一、知识网络《动态几何》涉及的几种情况 静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态问题从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及。