江苏省专转本统一考试高等数学复习总纲简略版.pdf

高等数学复习提纲一、极限（一）极限七大题型1. 题型一( )lim( )mxnPxPx（,m n分别表示多项式的幂次）要求 : A: 达到口算水平； B: 过程即“除大”2. 题型二()limxaa?有限分子分母将 a 带入分母3. 题型三 （进入考场的主要战场）( )( )limv xxau x?注：应首先识别类型是否为为“1￥”型！公式：1lim(1)e+=WWW口诀：得 1 得+得内框，内框一翻就是e （三步曲）4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0W）（1）A:同阶无穷小：lim0()xffg1是g的同阶；B:等价无穷小：lim1(g)xffg和 等价=；C:高阶无穷小：lim0(g)xffg是 的高阶=.注意：fg和 的顺序（2）常用等价替换公式：1 sin WW4 1eWW7 * arcsin WW=0 10 直接带入a 求出结果就是要求的值10 结果：=0 “0/0 型”用洛比达法则继续计算求值将 a 带入分子2 tan WW5 ln(1) WW* arctan WW3 1 cos W212W6 11 nW1nW特别补充：21sec12WW（3）等价替换的的性质：1）自反性：;2）对称性：若，则；3）传递性：.若，则（4）替换原则：A:非 0 常数乘除可以直接带入计算；B:乘除可换，加减忌换（5）另外经常使用：ln MMe=进行等价替换题型五lim( )( )0( )0, ( )xaxf xg xf xg x?=不存在但有界有界：,|( )|Mg xM$有界（sin,cos,arcsin,arccot,xxxx 均有界）识别不存在但有界的函数：sin,cos,2e5. 题型六： 洛必达法则（极限题型六） ，见导数应用：洛必达法则6. 题型七： 洛必达法则（极限题型七） ，定积分，见上限变限积分7. 题型三 & 题型四的综合（二）极限的应用1、单侧极限（1）极限存在条件000lim( )(0)(0)xxf xAf xf xA?=?=-=左左右右（2）极限的连续性000lim( )()( )xxf xf xf xxx?=即在连续000(0)(0)()f xf xf x?=-=（3）间断点及分类（难点）把握两个问题：第一，如何找间断点；第二，间断点分类（难） 。

A:间断点：定义域不能取值的内点B:间断点分类类可去类类跳跃0lim( )xxf x?=二、导数（坚守的阵地）（一）导数定义定义一1、 “陡” 、 “平”的形象叙述 ; 2、00()()df xfxdx=攻唯一切线斜率（） ; 3、00()()tanf xxf xyxxb+-=VVVV; 4、0000()()()limxf xxf xfxx?+-=VVV . 拓展：0000()()lim()f xf xAfx?+-=WWW注意： 1）分段点求导，永远用定义！2）有连续性条件时可直接带入定义二0000()()()lim()xfxxf xfxx-?+-=VVV（左导）左支0000()()()lim()xfxxf xfxx+?+-=VVV（右导）右支000()()()fxfxfx+-?=存在A,类可去￥,类不存在，不能分类，求左右极限00(0)(0)f xf x+=-= 有限00(0)(0)f xfx+?（二）导数常用公式1 c07 (tan)x221seccosxx(cot)x221cscsinxx(sec )xtansecxx(csc )xcotcscxx2 nx1,nnxn为常数3 xaln,xaa a为常数4 xexe5 (log)ax1lnxaln x1x(lg)x1ln10 x8 (arcsin)x211x(arccos )x211x(arctan )x211x(cot)arcx211x6 sin xcosx(cos )xsinx（三）导数运算1、乘法运算：()uvu vuv=+()uvwu vwuv wuvw=+2、除法运算：2()uu vuvvv-=（四）复合函数求导（核心内容）1、 层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”）所谓的“则”是、 -、2、几点性质：（1）公式ln x1x，推广为：11(ln |)|xxx=?（2）形如：( )( )v xu x利用公式ln MMe=等价替换（3）奇偶性 : ( )yf xy=?奇偶( )yf xy=?偶奇（五）高阶导数九字诀号变号则用则层间乘1 ()!nnxn()0()mnxmn3 ( )sinnxsin2nx( )(cos )nxcos2nx2 ( )1naxb1( 1)!()nnnn aaxb4 ( )()axnenaxa e（六）微分1、基本知识dyy dx=注意求的时候要加“dx”. 2、参数方程求导（考试重点）参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分( )xx t( )yy t公式：ttydydxx=22() ttdyd ydxdxx=3、符号型求导f层抽象符号层4、隐函数求导（必考）( ),yf x 一元显函数( , ),ufx y 二元显函数( ),yy x 一元隐函数题目一般形式是 :( ,)( ,),f x yg x y22dd,.ddyyxx求5、对数法求导巧用对数的性质，变形式子（七）导数的应用1、 切线与法线切线斜率就是在该点的导数值法线斜率切线斜率 =-1 ；22dd,ddyyxx求标准形式：t 为中间变量2、 洛必达法则（极限题型六） （）( )( )limlim( )( )xaxaxxf xfxg xg x3、 函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1） “峰”极大值； “谷”极小值；单调性与极值求解A：单调性：0,;0,.yxIyyxIyB：单调性交界点极值点（判据）C:极值点可疑点（0 &yy 不存在）D:渐近线lim( ),( )lim( )( )xxaf xAyAyf xf xxayf x如果则是的水平渐近线；如果，则是的垂直渐近线 .2）函数凹凸性与拐点A：0,;0,.yxIyyxIyUI凹（）凸（）B:凹凸性交界点且能取值拐点C：拐点可疑点0&yy 不存在一般求解步骤：（1） 求定义域、渐近线；（2） 计算,yy；（3） 求0,0yy的点和使,yy不存在的点，设为123,.x xx；（4） 列表分析；条件： 1.0,0；2. 后有则前有注意：1 等价无穷小，乘除可换，加减忌换2 洛必达法则可重复使用（5） 得出结论 . 4、 函数最大值、最小值( ) , f xxa b连续，比较： 1）( )0,fxf 不存在极值可疑点；2）端点5、 函数的实际应用步骤： （1）合理做设，x具有唯一性；（2）( ),yf x 建模； （关键点所在）（3）令*0,()yxx符合实际；（4） “八字” ，唯一驻点，即为所求。

三、多元微分学（ 20+）（一）显函数一阶偏导数(,)xxuuuxyx变常(,)yyuuuyxy变常（二） 全微分一元函数：( ),ddyf xyyx此时，可微可导二元函数：( ,),ddd .uuuf x yuxyxy此时，可微偏导数存在，且连续（三） (高)二阶偏导数主要是求22ux2ux y2uy x22uy，分别定义为：222222(),(),(),().uuuuuuxxxx yxyuuuuuuy xyxyyy（四）二元隐函数求导( , , )0,()F x y zzz xy一般“求即变”：求哪个，哪个就是变量一定条件下，即连续时：22uux yy x一阶：xzFzxFyzFzyF二阶直接求：( , )zz x y（五）符号型求导（必考）1(),xuy为已知函数（第一类：“妈妈一元 ”函数）2. (,2 ),uf xy xyf 为已知函数（第二类）(重点) 会画关系图【例题】(,23 ),uf xyxyf已知 .求2,.uuuxyx y解： （1）画关系图uf1 xy2 xy（2） “九字诀”求解uxuy2ux y四、不定积分 （一）基本知识1. 性质： ( )d ( );d( )d ( )d ; d ( )( )f xxf xf xxf xxF xF xC2. 基本公式1 dnxx11(1)1nxC nn7 csc dx xln | cotcsc|xxCsec dx xln | tansec|xxC2 1dxxln |xC九字诀先找路路中乘路间加框 1 框 2 3 dxaxlnxaCa8 221dxaxarcsinxCa221dxax1arctanxCaa221dxax1ln2axCaax21dxxA2ln xxAC4 dxexxeC5 sin dx xcosxCcos dx xsin xC6 2sec dx xtanxC2csc dx xcot xC（二）求不定积分的四大方法1、 方法一（1） 凑常数公式：1dd(),xaxb a ba均为常数（2） 配方见到一元二次方程敏感的想到配方法（3） 拆分公式：11()()1()()()()()()c axba cxdcaaxb cxdbcadaxb cxdbcadcxdaxb（4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、 方法二固定搭配公式( ) ( ( ) dx fx x x3、 方法三分布积分（1） 一般分布积分公式：ddu vuvv u关键：v是什么？lnarctanarcsinWWW、x幂三角函数eW（2） 特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意：2222sinlnsin3 d ,d ,d ,d ,sind , sin(ln)d ,cos4 d1xxxxxex xexxxxxxxex xxx等等4、 方法四变量替换（1） 一次项替换如:daxb x方法：直接令2,tbaxbtxa即. （2） 二次项替换根据下表进行相应替换：原项换元22axsinxat22axtanxat22xasecxat五、定积分（一）定积分计算1.N-L 公式 （牛顿 -莱布尼兹公式）( )d( )f xxF xC( )d( )( )( )bbaaf xxF bF aF x主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算；v的优先级方向替换原理 : 根据下面两个三角变换得来的1.22sincos1xx2.221tansecxx高2.变换变限111( )( )()( )( )d ( ) ( )d .bbxtaatxf xxfttt（二）定积分性质1.（1）( )d0.aaf xx（2）( )d( )d .abbaf xxf xx2. d,( )d )0.dbaa bf ttx若为常数，3. 更名：( )d( )d( )d .bbbaaaf xxf ttf W W4. 拆分：( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx积分性质的运用：（1） 分段函数的定积分（2） 函绝对值积分（3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算）5. 若( )f x 为奇函数，则( )d0.aaf xx这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。

6. 变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七（1）( )( )dxag xf tt( )d )( )xxaf ttf x记住：与x没有关系推广：2()1()2211( )d )( ) ( )( ) ( ).xxxf ttfxxfxx上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导(2)洛必达法则（极限题型七）7 广义积分三种形式：（1）( )daf xx； （2）( )daf xx； （3）( )df xx. 解：定义：( )duuaFf xx原式= limuuuFA（有限）收敛或不存在发散（三）定积分应用一般出现在综合题的最后一题， 题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕,xy轴轴）1. 面积（1） “左右型”（2） “上下型”2. 旋转体体积（1） “坐在x轴上”（2） “坐在 y 轴上”abyo( )yf xxcdyxo2( )y1( )yabyo1( )x21( )( )dbaSxxx阴影 *x积分21( )( )ddcSyyy阴影 *y积分x2( )x微元法推导：1.绕x轴：2d( ) dxVfxx公式 1。