热力学与统计物理范德瓦尔斯方程的讨论2.docx

关于范氏方程、伯赛洛特方程、狄特里奇方程气体的若干讨论姓名：樊聪 年级：2012级学号：20110515623 专业：物理学（师范）学院：物理与电子工程学院H 录1弓I言 22范德瓦尔斯气体的讨论 22. 1范德瓦耳斯气体的内能 22. 2范德瓦尔斯气体的炳 32. 3范德瓦尔斯方气体的准静态绝热过程方程 • 43伯赛洛特气体的讨论 43. 1伯赛洛特气体的内能 43・2伯赛洛特气体的爛 53. 3伯赛洛特气体的准静态绝热过程方程 54狄特里奇气休的讨论 64. 1狄特里奇气体的内能 64. 2狄特里奇气体的爛 74. 3狄特里奇气体的准静态绝热过程方程 75结论 86参考文献 9关于范氏方程、伯赛洛特方程、狄特里奇方程气体的若干讨论摘要：讨论了范德瓦尔斯气体、伯赛洛特气体及狄特里奇气体的内能和炳，给 出了相应的数学表达式；推导了范德瓦尔斯气体伯赛洛特气体和狄特里奇气体在 相应准静态的绝热过程中的过程方程.关键字：范德瓦尔斯，伯赛洛特，狄特里奇，气体，内能，矯，绝热过程1.引言一般的教材心1对理想气体的内能、爛及过程方程讨论都比较详细，而对理想 气体只是热力学理论中的理想化模型，其基木特点是:(1) 分子本身的线度与分子之间的距离相比可忽略不计；(2) 除碰撞的瞬间外分子Z间及分子与器壁Z间没冇相互作用力；⑶ 分了Z问及分了与器壁Z间作完全弹性碰撞.即只有当温度不太低、压强不 太高时才能把真实气体当作理想气体看待，对真实气体的内能、爛及过程的方程 却很少涉及，范德瓦耳斯气体(包括范德瓦尔斯方程、们赛洛特方程和狄特里奇 方程)的模型既考虑了气休分子本身的大小，也考虑了气体分子之间的相互作用, 比理想气体更接近于真实气体•而多数教材及期刊论文中都只对范氏气体一即范 氏方程做了较为详细的讨论，我认为我们有必要将伯赛洛特方程、狄特里奇方程 所对应的内能、爛、准静态过程进行讨论，以增强我们对于以上三种实际气体的 认识和理解.为此，木文对范德瓦耳斯气体及伯赛洛特方程、狄特里奇方程对应 的内能、爛和准静态的绝热过程中的过程方程进行讨论.2. 范徳瓦尔斯气体的讨论2.1范徳瓦耳斯气体的内能范德瓦尔斯1873年在他的博士论文《论液态与气态的连续性》⑷中，通过简 单的物理分析得到下述方程，即范德瓦耳斯气体的状态方程(p + 穿)少 一 nb) = nRT (1)2式小，代表分子间引力引起的修正(其中3和b分别是对压强和体积修正 的常量，称为范徳瓦耳斯常数，该常量可由实验求得⑷)称为内压强，用R表示; 而刀方是分了Z间的排斥力引起的修正一即体积修正•可以看出，若气体的密度 2足够低，使“貯”和nb可以忽略时，范德瓦尔斯气体方程就述原为理想气体方 程.对于范徳瓦耳斯气体内能不仅包括各个分子热运动动能Z和 佻而且述应包 括各对分了间相互作用的位能总和Ep.即〃 =EK + Ep・对必来讲，其值和理想 气体一样，仅曲气体的温度而定，当温度变化dT时，气体的动能增量为dEk = nCvdT, (2)式中G•为气休的定容摩尔热容，而对②来说，当容器的体积改变时，分子间平 均距离的改变必然引起各对分子间位能的改变•设想范徳瓦耳斯气体在等温下膨 胀，气体不仅要反抗外力做功，而且还要反抗各对分了问的相互作用力做功.显 然，反抗内力所做的功就等于气体分子引力位能伤的增量，因此当体积的微小 增量 刃时,n摩尔范徳瓦耳斯 气体反抗内压强所做的功为：dA = PtdVf即位 能的增量为：dEP = PtdV = n2a/v2 .dV・由式(2)和上式得范德瓦耳斯气体 内能的增量为dU = nCv ・dV (3)在温度变化范围不大吋，气体的定容摩尔热容G可以看作常数，积分(3 )式得 到范德瓦耳斯气体的内能表达式为九2U — — a + TiCyT + Uq2. 2范德瓦尔斯气体的爛对于气体系统通常选取T, V或T, P作状态参量，若以T, V为状态参量，则由热 力学第一定律dQ = dU-dA = dU-^ PdV，而d庐（器）\vdT + （窮）\TdV，于是 气体状态1,2之间的爛差为『冷.篦严+曙.［（瓠+P印⑷又由（3）式得:罟］v = n ,［韵T =窖•再由⑴式得:卩=母-"％/厂, 将以上三个式子代入（4）式并积分整理得：AS = nCv/T .dT + nRln ⑴ 一 "》/（%_ 祐）.2. 3范德瓦尔斯方气体的准静态绝热过程方程根据热力学第…定律：dU = dQ + dA,在准静态的绝热过程中，气体与外界 没有热量交换，即dQ = 0,外界对气体做的功为：dA = -PdV,将式（3）和以 上两式代入d” = dQ + 得：P + n a/y2 dV + nCvdT = 0.再将（1）式代入 上式得：nRT/（y _讪）・如+ nQdT = 0，积分上式并令“ + *）/仿得：T（V - nby-1 =常量•同理，如果以T, P或P, V作状态参量，则可得绝热过程的另外两个方程(V — nb)y =常量3伯赛洛特气体的讨论3. 1伯赛洛特气休的内能伯赛洛特气体的状态方程为（P + 箸）（v - nb） = nRT （1）2可以看出与范氏气体方程相比，式中除了含有与范氏气体相同的“時”项，还V2含冇“y项，即伯赛洛特方程中述考虑了温度“t”对分子引力的影响，由分子2间引力和温度引起的修正项“貯”同样称为内压强，用R表示；“nb”是分子本 身的体积引起的修正.对于伯赛洛特气体的内能同样包括各个分子热运动动能之 和代和各对分子间相互作用的位能总和E.即1/ = EK + Ep.对以来讲，其值和 理想气休一样，仅由气休的温度而定，当温度变化〃T时，气体的动能增量为 dEk = nCvdT, （2）式中G为气体的定容摩尔热容，而对②来说，当容器的体积改变时，分了间平 均距离的改变必然引起各对分子间位能的改变.设想伯赛洛特气体在等温下膨胀, 气体不仅要反抗外力做功，而且还要反抗各对分子问的相互作用力做功.显然， 反抗内力所做的功就等于气体分子引力位能②的增量，因此当体积的微小增量 时,n摩尔伯赛洛特气体反抗内压强所做的功为：dA = RdV,即位能的增量2为：dEP = PtdV = n a/（ry2）・d!Z •由式（2 ）和上式得伯赛洛特气体内能的 增量为2dU = nCv dT + ^ ・ dV （3）在温度变化范围不大时，气体的定容摩尔热容G可以看作常数，积分（3 ）式得 到伯赛洛特气体的内能表达式为XI?U = -^a + nCvT + U03. 2伯赛洛特气体的爛对于气体系统通常选取T, V或T, P作状态参量，若选前者，则由热力学第一定 律dQ = dU-dA = dU-}- PdV，而 （篇）\vdT + （篇）\TdV ,于是气体状态 1,2之间的爛差为AS = S2 - =伴=朋.（豹严+能［（孰*砂⑷又由（3）式得罟「nd ,［噺厂甥.再由⑴得:P=^_岛/（护）, 将以上三个式子代入（4）式并积分整理得：△S = n竄 Cv/T .dT + nR In（叫 一 _ 血）•3. 3伯赛洛特气体的准静态绝热过程方程根据热力学第一定律：dU = dQ + dA,在准静态的绝热过程中，气体与外界 没冇热量交换，即dQ = O,外界对气体做的功为：dA = -PdV,将式（3）和以上两式代入= dQ + 得:P +dV + nCvdT = 0.再将（1）式代入上式得:nRT/（y _必）.dV + nCvdT = 0 ,积分上式并令y = +刃匕得:7（1/ - nby-1 =常量•同理，如果以T, P或P, V作状态参量，则可得绝热过程（P + n27（TV2）j（V - nb）y =常量・4狄特里奇气体的讨论4. 1狄特里奇气体的内能狄特里奇气体的状态方程为naPeVRT（y 一 nb） = nRT （1）na式中，W -是由分子间引力引起的修正（a与分子间的相互作用有关,压强这na na一项考虑温度以后P[ + P = PevRT ,由此可以得到系统内压强Pt = P^evRT -1） \nb是分子本身的体积引起的修正）.对于狄特里奇气体的内能不仅包括各个 分子热运动动能之和侨而且还应包括各对分子间相互作用的位能总和Ep•即 U = EK +EP・对必来讲，其值和理想气体一样，仅由气体的温度而定，当温 度变化dT时，气体的动能增量为dEk = nCvdT, （2）式中G为气体的定容摩尔热容，而对②來说，当容器的体积改变时，分子间平 均距离的改变必然引起各对分子间位能的改变•设想狄特里奇气体在等温下膨胀,气体不仅要反抗外力做功，而且还耍反抗各对分了问的相互作用力做功.显然, 反抗内力所做的功就等于气体分子引力位能伤的增量，因此当体积的微小增量 刃时,n摩尔狄特里奇气体反抗内压强所做的功为：dA = PjdV,即位能的增量 na为：dEP = PidV = P（evRT-l）.dV .由式（2 ）和上式得狄特里奇气体内能的 增量为nadU = nCv dT + P（e術-1） ,dV （3）在温度变化范围不大吋，气体的定容摩尔热容G可以看作常数，积分（3 ）式得 到范德瓦耳斯气体的内能表达式为V naU = p（€術 一 1）. dv + nCvT + UQ4. 2狄特里奇气休的爛对于气体系统通常选取T, V或T, P作状态参量，以T,V为状态参量，则由热力 学第一定律dQ = dU-dA = dU + PtdV ,而〃庐（器）\vdT + （篇）\TdV，于是气 体状态1,2Z间的爛差为伴 闻.（黑严+籍.［（瓠+P印⑷乂由（3 ）式得：［語v = nCv，愣.=語一1） •再由（1 ）得：P = -^Z_xe-^,将以上三个式子代入（4）式并积分整理得：（V-nb）△S =九斤Cv/t .旳+曙.（备x e品•（禺-1） +歸xna xVRT].dV=nCvln^ +J^2(inRT(V-nb)xW=nCvln^ + nRln^24. 3狄特里奇气休的准静态绝热过程方程根据热力学第一定律：dU = dQ + dA,在准静态的绝热过程中，气体与外界 没有热量交换，即d（2 = 0,外界对气体做的功为：dA = -PdV,将式（3）和以 上两式代入dU = dQ + dA得：PdV + nCvdT = 0.再将（1）式代入上式得：k(V-nb)na2 vrt) . dV + nCvd,T = 0积分上式并令y = G + Q/务得：“册於（為x广篙）・dU + n農Gd"O •即:T（V 一 nby-1 =常量同理，如果以T, P或P, V作状态参量，则可得绝热过程的另外两个方（ 旦、y_i.P. evRT /程：I / tv =常量（Pe篙）（V —血卩=常量5结论本文讨论了范德瓦尔斯气休、伯赛洛特气体及狄特里奇气体的内能、爛、和 绝热过程•经过计算，发现以上三种气体的内能、爛和绝热过程都有着相同的形 式，如果忽略修止项的影响，即得：以T,V为状态参量的内能形式都为u = Q P活• dv + nCvT + Uo爛的形式为■ ■AS = uJ；：Cv/t .dT + nRln ⑴%%）以T, V为参量的准静态绝热方程形式为ravy-1 =常量以T, P为参量的准静态绝热方程形式为迂）y_7ry =常量以P, V为参量的准。