数学建模之汽车停止距离.doc

汽车停止距离的模型摘要：本模型是针对某次某司机的考核结果而建立的分析本题后可知，汽车所停止的距离可分为反应距离与制动距离即刹车距离，可表示为：分别建立出反应距离、制动距离与速度的模型，此过程中运用了最小二乘法以及Matlab中数据的最小二乘拟合，最后得所需的模型得到模型后，对模型的可行性代入实际数据进行模型检验，且在Matlab7.6中实现，并根据结果对所得模型进行优化，最终得到了一个比较令人满意的结果关键字：反应距离 制动距离 最小二乘法 数据的最小二乘拟合1问题重述一辆汽车停止距离可分为两段，一段为发现情况时到开始制动这段时间里行驶过的距离，这段时间称为反应时间另一段则为制动时间驶过的距离现考核司机，考核结果如下： 行驶速度 36 Km/h 3 m 4.5 m 50 Km/h 5 m 12.5 m 70 Km/h 7 m 24.5 m(1) 求出停车距离D的经验公式。

2) 设制动力正比于车重，建立理论分析模型，并求出D的公式 2 符号说明及基本假设2.1 符号说明： —— 车辆停止时所驶过的总距离 （米） ——反应距离 （米） ——制动距离 （米） ——汽车的行驶速度 （千米/小时） ——制动力与车重的比例 ——反应距离与速度的比例 ——刹车后汽车停止所需的时间 ——刹车后某一时刻车辆移动的距离 ——加速度 ——汽车质量 ——制动力 ——制动距离与的比例 ——偏差的平方和 ——常数2.2 基本假设（1） 所得的数据真实可靠；（2） 忽略天气、汽车性能等因素的影响3模型的建立、分析与求解3.1.1采用Matlab做出汽车停车距离D与速度V的关系图形，代码如下：>> V=[36 50 70];>> D=[7.5 17.5 31.5];>> plot(V,D),xlabel('V'),ylabel('D'),grid on,title('汽车停车距离D与速度V的关系图形')可得其图形为： 图1则由图1可知汽车停车距离D与速度V成线性关系，故可设停车距离D的经验公式为：3.1.2采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：根据题目所给的数据可得：3634.57.550512.517.570724.531.5 表1根据表1数据，在Matlab中输入代码如下：>> V=[36 50 70];>> D=[7.5 17.5 31.5];>> A=polyfit(V,D,1)A =0.7055 -17.8516故可得： 所以停车距离D的经验公式为：3.2.1汽车在反应时间里的速度可认为是匀速运动，故可得反应距离：=V3.2.2采用最小二乘法求解该关系式：令M=欲使所得M的值最小，则应满足：从中可解得..............................................................................(1)根据题目所给的数据可得：363129610850525002507074900490156158696848 表2由表2的数据可得： ， 将以上所得数据代入（1）可得：所以反应距离：3.2.3制动距离与速度的关系式：由题意可知，制动力正比于车重，故可设：F=m..................................(2)又由牛顿第二运动定律得：F=.............................................................(3)由运动规律得：...........................................................................(4)联立（2）、（3）、（4）三式可得：对上式两边同时进行积分得：.............................................(5)当t=0时，，将之代入(5)式得：当时，，将之代入（5）是式得：又由运动规律可知：......................................................................(6)将（6）式代入（5）式得：对上式两边同时进行积分得：.............................(7)当t=0时，S=0，将之代入（7）式得：当时，，将之代入（7）式得：所以正比于，故可令：对上式两边分别取对数得：3.2.4采用最小二乘法求解该关系式：令欲使所得M的值最小，则应满足：即得：......................................................(8)根据题目所给的数据可得：3.58351.50413.91202.52574.24853.198711.74407.2285 表3根据表3数据可知：，将以上所得数据代入（8）可得：即得故与的关系式为：所以停车距离D的公式为：4 模型的检验、评价与优化4.1对第一个模型的检验：第一个模型：在Matlab中输入代码如下：>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[7.5 17.5 31.5];>> V=18:0.1:85;>> D=0.7055*V-17.8516;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为： 图2 根据图2可知，该模型的图像恰好经过了这三点，但由于该模型是根据经验数据所得出的，并没有经过理论分析，所以所得模型是比较的粗糙，跟实际有出入，不适合推广。

4.2对第二个模型的检验：第二个模型：在Matlab中输入代码如下：>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[7.5 17.5 31.5];>> V=18:0.1:85;>> D=0.097516*V+0.004428*V.^2;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为： 图3根据图3知，虽然第二个模型并没有经过这三个点，但这三个点均比较的靠近该图形考虑到实际所测得的数据有存在误差，据此所得的模型应该与实际比较的符合再者，该模型是根据理论充分的论证、分析所得，与实际相吻合又易知，当速度时，停车距离综上所述，第二个模型与实际比较的符合第二个模型结合了理论，又通过了实际数据的检验，所以较第一个模型而言适合推广如果能够得到更多的实际数据，那么，模型就能够得到进一步的验证4.3.1对第二个模型的优化：为了能够得到更好的拟合曲线，我们可以对第二个模型进行适当的优化，可设停车距离D与速度V的关系式为：4.3.2采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：在Matlab输入代码如下：>> V=[36 50 70];>> D=[7.5 17.5 31.5];>> A=polyfit(V,D,2)A = -0.0004 0.7504 -18.9706故可得：所以所得的优化模型为：4.3.2对所得的优化模型进行检验：优化模型：在Matlab中输入代码如下：>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[7.5 17.5 31.5];>> V=18:0.01:85;>> D=-0.0004*V.^2+0.7504*V-18.9706;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为： 图4根据图4知，优化模型的拟合度非常的高，但应该要注意的一点是，当汽车速度为零时，该模型预测汽车的停止距离为。

采用Matlab求解该模型的根，在Matlab中输入代码如下：> syms D V>> D=[-0.0004,0.7504,-18.9706];>> V=roots(D)V = 1.0e+003 * 1.85040.0256所以仅当时，故该模型所应用的范围不大参考文献[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2000.[2]Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox.数学建模(叶其孝，姜启源等译）.北京：机械工业出版社，2005.[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2003.[4]谢云荪，张志让.数学实验.北京：科学出版社，1999.[5]张德丰.Matlab数值分析与应用.北京：国防工业出版社，2007.。