最新05 第五节隐函数微分法.doc

第五节隐函数微分法散布图示★一个方程的情况〔1〕 ★例1 ★例2★一个方程的情况〔2〕 ★例3 ★例4★例5 ★例6 ★例7★例8★例9 ★方程组的情况 ★例10★例11 ★例12 ★例13★例14★内容小结 ★讲堂训练★习题9—5★前往内容要点一、一个方程的情况定理1设函数在点的某一邻域内存在延续的偏导数,且那么方程在点的某一邻域内恒能独一断定一个延续且存在延续导数的函数它满意并有(5.2)定理2设函数在点的某一邻域内有延续的偏导数,且那么方程在点的某一邻域内恒能独一断定一个延续且存在延续偏导数的函数,它满意前提,并有(5.4)二、方程组的情况定理3设在点的某一邻域内有对各个变量的延续偏导数，又且函数、雅可比行列式在点不即是零，那么方程组在点的某一邻域内恒能独一断定一组延续且存在延续偏导数的函数它们满意前提其偏导数公式由(5.9)跟(5.10)给出.，.(5.9)，.(5.10)例题选讲一个方程的情况例1〔E01〕验证方程在点(0,1)的某邻域内能独一断定一个有延续导数、事先的隐函数,求这函数的一阶跟二阶导数在的值.证令那么依定理知方程在点的某范畴内能独一断定一个有延续导数,事先的隐函数函数的一阶跟二阶导数为例2求由方程所断定的隐函数的导数解此题在第二章第六节采纳双方求导的办法做过,这里咱们直截了当用公式求之.令那么由原方程知时，因此例3求由方程是常数〕所断定的隐函数的偏导数跟解令那么显然基本上延续.因此，事先，由隐函数存在定理得例4〔E02〕设求解令那么注：在实践使用中，求方程所断定的多元函数的偏导数时，不必定非得套公式，尤其在方程中含有笼统函数时，应用求偏导或求微分的进程那么更为清晰.例5〔E03〕设求解当作的函数对求偏导数得把当作的函数对求偏导数得把当作的函数对求偏导数得例6〔E04〕设此中F存在延续偏导数，且求证证由题意知方程断定函数在题设方程双方取微分,得即有兼并得解得从而因此例7设方程断定了隐函数，求解方程双方分不对求偏导跟对求偏导,得因此同理例8设而是由方程所断定的的函数，求解将看作的函数,所给的方程双方对求偏导数得即因此例9设由方程断定，此中存在一阶延续的偏导数，且求解来由断定,故(此中因此例10〔E05〕设求解由题意知,方程组断定隐函数组在题设方程组双方对求偏导,得应用克莱姆法那么,解得例11〔E06〕设求,解一由题意知,方程组断定隐函数在题设方程组双方取微分,有把当作未知的,解得即有同理,咱们还能够求出从而失掉注:此题也可用公式法求解.解二用公式推导的办法,将所给方程的双方对求导并移项得在的前提下,有将所给方程的双方对求导,用异样办法得例12设此中存在延续的偏导数且求解由题意知,题设方程组隐含函数组在方程两头对求导,得(1)又由方程知(2)再在方程双方对求导,得解得(3)把(2)、(3)代入(1),即得注:此题也能够应用多元函数的一阶微分方式稳定性及微分的四那么运算便利地盘算出,请读者试之.例13〔E07〕在坐标变更中咱们经常要研讨一种坐标与另一种坐标之间的关联.设方程组(5.14)可断定隐函数组称其为方程组(5.14)的反函数组.设存在延续的偏导数，试证实证将代入(1),有在方程组两头分不对跟求偏导,得跟即由证毕.注:此后果相似于一元函数反函数的导数公式推行到三维情况:假设断定反函数组那么在必定前提下,有例14〔E08〕设方程组断定反函数组求解由在题设方程组双方对求偏导,得解得同理,在题设方程组双方对求偏导,可得讲堂训练1.设此中为可微函数,求.2.设此中为由方程所断定的隐函数,试求3.设而t是由方程所断定的的函数,试求。