绝对值不等式例题解析.doc
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高中数学 典型例题一例1解不等式x+1 >|2x—3 —2分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念 &=产(*30)，将不等式中-a(acO)的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组) ，再去求解•去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点) ，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.3 解：令 x • 1 = 0 ,.•• x - -1，令 2x -3 = 0 ,••• x ，如图所示.2(1) 当x匕—1时原不等式化为-(x T) _(2x - 3) - 2• x ■ 2与条件矛盾，无解.3(2) 当-1：：：x 时，原不等式化为 xT・-(2x-3)-2 .23• x • 0 ,故 0 ：：： x _23(3) 当x •—时，原不等式化为23x 1 - 2x -3-2 . • x 6，故x • 6 .2综上，原不等式的解为 、xO ：：： x 6』.说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这 样做条理分明、不重不漏.典型例题二例2求使不等式X-4 + x-3^a有解的a的取值范围.分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简 便.解法一：将数轴分为 -：：,3![3,4],(4, •：：)三个区间- 7 — a 7 — a当x :: 3时，原不等式变为(4 - x) • (3 - x) ：：： a, x • 有解的条件为 ？ ：: 3，即a 1 ；当 3 _ x _ 4时，得(4 一 x) • (x - 3) ：：： a，即 a 1 ；当 x .4时，得（x 一4） • （x 一3） ：：： a，即 x ：：： a 7 ,有解的条件为 a 7 4 /. a 1 .2 2以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为 a . 1 .P A B—1~~ ”解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为 P, A，B,如图，由绝对值的几何定 义，原不等式 PA+|PB ca的意义是P到A、B的距离之和小于 a .因为AB =1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于（等于 1）,即x-4 +|x —3启1，故当 a >1 时，x—4+x—30 ,•••只需证明a2 —b2 A a2 — a|b，两边同除|b2，即只需证明a2，即(a)2 -1>(a)2 abbba>—— _ 2ba>1时，a 2()2-1bb当a 2()2-1工a 2()2bba a r ra ；当r1时,a - b cO，原不等式显然成立.•••原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法•本例也可以一开始就用定理:a2京翰教育中心 a(1)如果>1，则a - b兰0，原不等式显然成立.-<1，则1丨h-b，利用不等式的传递性知alal(2)如果原不等式也成立.典型例题五例5求证a +b1-|a b1bb分析：本题的证法很多， 下面给出一种证法： 比较要证明的不等式左右两边的形式完全 相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.X 1 X -1 1证明：设f (X) 1 --1+x 1+x 1 +x定义域为{ XX^R，且X式一1 }, f (X)分别在区间(亠0,-1)，区间(_1,+=0)上是 增函数.又0科a +b兰|a + b ,• f (a +b)兰 f (a + b)即la+b|兰同+忖 _ 同_ 土 _忖 兰同.忖1+|a+b| 1+|a|+|b| 1+忖+|b| 1+|a|+|b| 1+|a| 1 +|b•••原不等式成立.说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误:a +b 兰 a + b , 1 + a +b =0 ,a +b兰同：jb| _ |同一也 兰且+ JbL1+a+b 1+|a+b| 1+|a+b| 1+|a+b| 1+|a| 1+|b|错误在不能保证1+|a+b畠1+|a , 1+|a+b兰1+|b .绝对值不等式a±b £a+|b在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用， 其形式转化比较灵活. 放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构.典型例题六2 2例 6 关于实数 x 的不等式 x—®") 一)与 x时，要满足 _3(a+1)x+2(3a+1)兰0 (a^R)2 2的解集依次为 A与B，求使Am B的a的取值范围. 分析：分别求出集合 A、B，然后再分类讨论.2 2解：解不等式X —(a+1) 1),2 22 2 2(a-1) ... x (a 1) (a -1)2 - 2 _ 2 ，••• A = "x 2a_x_a2 1,a R 二解不等式 x2「3(a 1)x 2(3a 1) < 0 , [x「(3a 1)](x「2)乞 0 .1时(即3a 1 2时)，得B3=J x 2兰xE3a+1,a>]?.3'1_丄时(即3a • 1 _2时)，得B3=* x 3a+1 兰 x 兰 2 , a 兰 2 ?.1时，要满足3必须丿2严2, 故1兰a兰3 ；a +1 兰 3a+1,必须丿2a _3a 1,22 _a2 1;^<-1,—1Wa 兰1,说明：在求满足条件 致误解.所以a的取值范围是A B的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导典型例题七例6已知数列通项公式 a*二目罗 si；ja — *；黑对于正整数 m、n,当m - n时，求证:分析：已知数列的通项公式是数列的前 n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式 a^i +a2 +…+an乞ai十a?十…+ an，问题便可解决.证明：t m . nsin(n +1)a sin(n +2)a … sin ma… am -an = 2^1 * 2^2 * + -sin(n 1)asin(n +2)a+ 2^21 (1 1 )1 (1 _ 』)二 1—121 12m_n) "： 2?(° ”：1 _2^云：:：1)-说明：11 11 1+ 1占+…+ m是以1寺为首项，以1为公比，共有m—n项的等比数列 2n 1 2口 2 2m 2n 1 2的和，误认为共有 m — n 一1项是常见错误.正余弦函数的值域，即 sin q <1, cosQ <1，是解本题的关键•本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目•如果将本题中 的正弦改为余弦，不等式同样成立.典型例题八例 8 已知 f(x)=x2 —x+13 , x—a c1，求证：|f(x) —f(a) c2(a +1)分析：本题中给定函数 f(x)和条件|x-a<1，注意到要证的式子右边不含 x，因此对条件x-a <1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a-1cx<;a+1，替出x ； (3)用绝对值的性质 x—aEx—av1=xca+1进行替换.证明：t f (x) = x2 - x 13 f (a) = a2 -a 13 ,t x —a c1，二 x —a 兰|x —a <1 .••• x < a +1,/. f (x) _ f (a) = x2 _a2 +a _x二(x -a)(x a) _(x _a)=(x _a)(x a _1)=x _a，x +a -1
