高考浙江理科数学试题及答案解析.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年浙江，理1】已知集合，，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，，，故选C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）（A）（B）（C） （D）【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积，故选C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．（3）【2015年浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】因为成等比数列，所以，化简得，，故选B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础题．（4）【2015年浙江，理4】命题“且的否定形式是（ ）（A）且（B）或（C）且（D）或【答案】D【解析】全称命题，的否定是，，所以命题的否定为：，或，故选D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．（5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线的方程为，又由抛物线定义知，，，，，故选A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．（6）【2015年浙江，理6】设是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数（ ） 命题①：对任意有限集，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，．（A）命题①和命题②都成立（B）命题①和命题②都不成立（C）命题①成立，命题②不成立（D）命题①不成立，命题②成立【答案】A【解析】由题意，，命题①：，，命题①成立．命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：，因为且，故命题②成立，故选A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．（7）【2015年浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】选项A：当时，；当时，； 选项B：当时，；当时，；选项C：当时，；当时，；或为偶函数，然而并不是偶函数；选项D：，令得，，再令，则，，故函数可以满足要求，故选D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．（8）【2015年浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若，则当时，，排除D，当时，，，排除A，C，故选B．解法二：①当时，；②当时，如图，点投影在上，，连接，易得，，即．综上所述，，故选B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2015年浙江，理9】双曲线的焦距是，渐近线方程是．【答案】；【解析】，，焦距，焦距为，渐近线．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年浙江，理10】已知函数，则，的最小值是．【答案】0；【解析】；当时，（当时取最小值）当时取最小值，当时，，，的最小值为．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．（11）【2015年浙江，理11】函数的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】；【解析】，所以最小正周期；单调递减区间：，化简得，单调递减区间：．【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．（12）【2015年浙江，理12】若，则．【答案】【解析】由可知，即，所以．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．（13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是__．【答案】【解析】取的中点，因为，则为异面直线，所成的角．，，，又，，．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（14）【2015年浙江，理14】若实数满足，则的最小值是．【答案】【解析】，，即，如图，直线将直线分成了两部分：①在阴影区域内的满足，即，此时，利用线性规划可知在处取得最小值3；②在阴影区域外的满足，即， 此时， 利用线性规划可知在处取得最小值3． 综上，当，时，的最小值为3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．（15）【2015年浙江，理15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则，，．【答案】，，．【解析】，，不妨设，，，则由题意知，，解得，，，，，由题意，当，时，取到最小值1，此时，故．【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在中，内角所对边分别为．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积为7，求的值．解：（Ⅰ）由及正弦定理得，故．又由，即，得，解得．（Ⅱ）由得，，又，故，由正弦定理得，又，，故，故．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．解：解法一：（Ⅰ）设为的中点，连．由题平面，故．因，故，从而平面．由分别的中点，得且，从而，且，所以为平行四边形，故．又平面，故平面．（Ⅱ）作于，连，由题，，得．由，，得．由，得，因此为二面角的平面角．由，，，得，，由余弦定理得．解法二：（Ⅰ）如图，以中点为原点，方向为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．，，，易知，，，，，，，，，，，，，又，，又，平面．（Ⅱ）设平面的法向量为，知，，则取，设平面的法向量为，则，，则取，，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数，记是在区间上的最大值．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）当满足，求的最大值．解：（Ⅰ）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，因此．当时，，故，，即；当时，，故，，即．综上，当时，．（Ⅱ）由得，，故，，由，得．当，时，，且在的最大值为2，即，故的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解是在区间上的最大值，以及利用三角不等式变形．（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求面积的最大值（为坐标原点）．解：（Ⅰ）由题知，可设直线：，代入椭圆方程并整理得．因直线与椭圆有两个不同的交点，故①．将中点代入直线方程得②．由①②得或．（Ⅱ）令，则，且到的距离为，故的面积，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列满足且，数列的前项和为，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．解：（Ⅰ）由题，即，故．由得，故，从而，即．（Ⅱ）由题，故①．由和得，，故，因此②，由①②得．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．内容总结（1）【解析】，所以最小正周期。