九年级数学中考复习：四边形与证明 课件全国通用.ppt

(5)四边形四边形 ①①探探索索并并了了解解多多边边形形的的内内角角和和与与外外角角和公式，了解正多边形的概和公式，了解正多边形的概 念 ②②掌掌握握平平行行四四边边形形、、矩矩形形、、菱菱形形、、正正方方形形、、梯梯形形的的概概念念和和性性质质，，了了解解它它们们之之间的关系；了解四边形的不稳定性间的关系；了解四边形的不稳定性 ③③探探索索并并掌掌握握平平行行四四边边形形的的有有关关性性质质[1]和四边形是平行四边形的条件和四边形是平行四边形的条件[2] ’ ④④探索并掌握矩形、菱形、正方形的探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正和四边形是矩形、菱形、正方形的条件方形的条件[4]  ⑤⑤探探索索并并了了解解等等腰腰梯梯形形的的有有关关性性质质[5]和四边形是等腰梯形的条件和四边形是等腰梯形的条件[6] ⑥⑥探探索索并并了了解解线线段段、、矩矩形形、、平平行行四四边边形形、、三三角角形形的的重重心心及及物物理理意意义义(如如一一根根均均匀匀木木棒棒、、一一块块均均匀匀的的矩矩形形木木板板的的重重心心)。

⑦⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计单的镶嵌设计 【备注【备注2】：】： [1]平平行行四四边边形形的的对对边边相相等等、、对对角角相相等等、、对角线互相平分对角线互相平分 [2]一一组组对对边边平平行行且且相相等等，，或或两两组组对对边边分分别别相相等等，，或或对对角角线线互互相相平平分分的的四四边边形形是平行四边形是平行四边形 [3][3]矩形的四个角都是直角，对角线矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分垂直平分  [4]三三个个角角是是直直角角的的四四边边形形，，或或对对角角线线相相等等的的平平行行四四边边形形是是矩矩形形；；四四边边相相等等的的四四边边形形，，或或对对角角线线互互相相垂垂直直的的平平行行四四边形是菱形边形是菱形 [5]等等腰腰梯梯形形同同一一底底上上的的两两底底角角相相等等，，两条对角线相等。

两条对角线相等 [6]同一底上的两底角相等的梯形是同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形 (1)(1)了解证明的含义了解证明的含义 ①①理解证明的必要性理解证明的必要性 ②②通通过过具具体体的的例例子子，，了了解解定定义义、、命命题题、、定定理理的含义，会区分命题的条件的含义，会区分命题的条件( (题设题设) )和结论 ③③结结合合具具体体例例子子，，了了解解逆逆命命题题的的概概念念，，会会识识别别两两个个互互逆逆命命题题，，并并知知道道原原命命题题成成立立其其逆逆命命题题不不一定成立一定成立 ④④通通过过具具体体的的例例子子理理解解反反例例的的作作用用，，知知道道利利用反例可以证明一个命题是错误的用反例可以证明一个命题是错误的 ⑤⑤通过实例，体会反证法的含义通过实例，体会反证法的含义 ⑥⑥掌掌握握用用综综合合法法证证明明的的格格式式，，体体会会证证明明的的过过程要步步有据程要步步有据4 4．图形与证明．图形与证明 (2)(2)掌掌握握以以下下基基本本事事实实，，作作为为证证明明的的依依据据 ①①一一条条直直线线截截两两条条平平行行直直线线所所得得的的同位角相等。

同位角相等 ②②两两条条直直线线被被第第三三条条直直线线所所截截，，若若同位角相等，那么这两条直线平行同位角相等，那么这两条直线平行 ③③若若两两个个三三角角形形的的两两边边及及其其夹夹角角( (或或两两角角及及其其夹夹边边，，或或三三边边) )分分别别相相等等，，则这两个三角形全等则这两个三角形全等 ④④全全等等三三角角形形的的对对应应边边、、对对应应角角分分别相等 (3)(3)利用利用(2)(2)中的基本事实证明下列命题中的基本事实证明下列命题[1][1] ①①平平行行线线的的性性质质定定理理( (内内错错角角相相等等、、同同旁旁内内角角互互补补) )和和判判定定定定理理( (内内错错角角相相等等或或同同旁旁内角互补，则两直线平行内角互补，则两直线平行) ) ②②三三角角形形的的内内角角和和定定理理及及推推论论( (三三角角形形的的外外角角等等于于不不相相邻邻的的两两内内角角的的和和，，三三角角形形的的外角大于任何一个和它不相邻的内角外角大于任何一个和它不相邻的内角) ) ③③直角三角形全等的判定定理。

直角三角形全等的判定定理 ④④角角平平分分线线性性质质定定理理及及逆逆定定理理；；三三角角形形的三条角平分线交于一点的三条角平分线交于一点( (内心内心) ) 　　　　⑤⑤垂垂直直平平分分线线性性质质定定理理及及逆逆定定理理；；三三角角形的三边的垂直平分线交于一点形的三边的垂直平分线交于一点( (外心外心) ) ⑥⑥三角形中位线定理三角形中位线定理 ⑦⑦等等腰腰三三角角形形、、等等边边三三角角形形、、直直角角三三角角形的性质和判定定理形的性质和判定定理 ⑧⑧平平行行四四边边形形、、矩矩形形、、菱菱形形、、正正方方形形、、等腰梯形的性质和判定定理等腰梯形的性质和判定定理 (4)(4)通通过过对对欧欧几几里里得得《《原原本本》》的的介介绍绍，，，，感感受受几几何何的的演演绎绎体体系系对对数数学学发发展展和和人人类类文文明明的的价值 四边形四边形一、四边形的分类及转化一、四边形的分类及转化二、几种特殊四边形的性质二、几种特殊四边形的性质三、几种特殊四边形的常用判定方三、几种特殊四边形的常用判定方法法四、中心对称图形与中心对称的区四、中心对称图形与中心对称的区别和联系别和联系五、有关定理五、有关定理六、主要画图六、主要画图七、典型举例七、典型举例 一、四边形的分类及转化一、四边形的分类及转化任意四边形任意四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱菱形形正方形正方形梯形梯形等腰梯形等腰梯形直角梯形直角梯形两组对边平行两组对边平行一个角是一个角是直角直角邻边相等邻边相等邻边邻边相等相等一个角是一个角是直角直角一个角是一个角是直角直角两腰相等两腰相等一组对边平行一组对边平行另一组对边不平行另一组对边不平行 项目项目项目项目四边形四边形四边形四边形对边对边对边对边角角角角对角线对角线对角线对角线对称性对称性对称性对称性平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形矩形矩形矩形菱形菱形菱形菱形正方形正方形正方形正方形等腰梯形等腰梯形等腰梯形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且相等平行且相等平行平行且四边相等且四边相等平行平行且四边相等且四边相等两底平行两底平行两腰相等两腰相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角同一底上同一底上的角相等的角相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角互相平分互相平分互相平分且相等互相平分且相等互相垂直平分，且每一互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角相等相等互相垂直平分且相等，每互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形二、几种特殊四边形的性质：二、几种特殊四边形的性质： 四边形四边形四边形四边形条件条件条件条件平行平行平行平行四边形四边形四边形四边形矩形矩形矩形矩形菱形菱形菱形菱形正方形正方形正方形正方形等腰梯形等腰梯形等腰梯形等腰梯形三、几种特殊四边形的常用判定方法：三、几种特殊四边形的常用判定方法：1 1、定义：两组对边分别平行、定义：两组对边分别平行 2 2、两组对边分别相等、两组对边分别相等3 3、一组对边平行且相等、一组对边平行且相等 4 4、对角线互相平分、对角线互相平分1 1、定义：有一外角是直角的平行四边形、定义：有一外角是直角的平行四边形 2 2、三个角是直角的四边形、三个角是直角的四边形3 3、对角线相等的平行四边形、对角线相等的平行四边形1 1、定义：一组邻边相等的平行四边形、定义：一组邻边相等的平行四边形 2 2、四条边都相等的四边形、四条边都相等的四边形3 3、对角线互相垂直的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形1 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2 2、有一组邻边相等的矩形、有一组邻边相等的矩形 3 3、有一个角是直角的菱形、有一个角是直角的菱形1 1、两腰相等的梯形、两腰相等的梯形 2 2、在同一底上的两角相等的梯形、在同一底上的两角相等的梯形 3 3、对角线相等的梯形、对角线相等的梯形四、中心对称图形与中心对称的区别和联系四、中心对称图形与中心对称的区别和联系中心对称图形：中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDC′A′B′ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC1、中心对称的两个图形是全等图形2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分中心对称图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分oo五、有关定理：五、有关定理：1、四边形的内角和等于 ，外角和等于 n边形的内角和等于 ，外角和等于 2、梯形的中位线 于两底，且等于 平行平行360°（（n - 2））180°360°两底和的一半两底和的一半360°条件：在梯形条件：在梯形ABCD中，中，EF是中位线是中位线3、两条平行线之间的距离以及性质：平行线段平行线段两条平行线两条平行线夹在两条平行线间的 相等夹在 间的垂线段相等AB两条平行线中，一条直线上任意一两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫这两条点到另一条直线的距离，叫这两条平行线的距离。

平行线的距离ABFEDC如：如：ABCDL1L2如：如：ABCDL1L2如：如：结论：结论：EF∥∥AB∥∥CD，，EF= （（AB+CD））124、一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 则在其它直线上截得的线段也 5、过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过 6、过梯形一腰的中点，且平行于底边的直线，必过 ABCDEF条件：条件：AD∥∥BE∥∥CF，，AB=BC结论：结论：DE=EFABCDE条件：在条件：在△△ABC中，中，AD= BD ，， DE∥∥BC结论：结论：AE=ECABFEDC条件：在梯形条件：在梯形ABCD中，中，AE=DE ，，AB∥∥EF∥∥DC结论：结论：BF=FC相等相等第三边的中点第三边的中点另一腰的中点另一腰的中点六、主要画图：六、主要画图：1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形如：画一个平行四边形如：画一个平行四边形ABCD，使边，使边BC=5cm,对角线对角线AC=5cm，，BD=8cm.ABCDO452.5452.5OBCAD2、用平行线等分线段CNC如图：点C就是线段AB的中点AB把线段把线段AB二等分二等分AB把线段把线段AB五等分五等分EDFH如图：点C就是线段AB的中点2、用平行线等分线段CNCAB把线段把线段AB二等分二等分AB把线段把线段AB五等分五等分如图：点D、E、F、H就是线段AB的五等分点七、典型举例：七、典型举例：例例1：如图，四边形：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长为平行四边形，延长BA至至E，延长，延长DC至至F，使，使BE=DF，，AF交交BC于于H，，CE交交AD于于G.求证：求证：∠∠E=∠∠FABHFCDEG证明：四边形ABCD是平行四边形AB∥CD=BE=DFAE∥CF=四边形AFCE是平行四边形注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。

注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法∠E=∠F例例2：如图，在四边形：如图，在四边形ABCD中，中，AB=2，，CD=1，，∠∠A=60°，， ∠∠B= ∠∠D=90 °，求四边形，求四边形ABCD的面积BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边连结对角线、延长两边等解：延长AD，BC交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2 √3∵在Rt△CDE中，同理可得 DE=√3CD= √3∴S四边形ABCD=S Rt△ABE - S Rt△CDE= AB·BE - CD·DE1212= ×2×2√3 - ×1×√31212= √33221例例3：如图，在梯形：如图，在梯形ABCD中，中，AB∥∥CD，中位线，中位线EF=7cm，，对角线对角线AC⊥⊥BD，，∠∠BDC=30°，求梯形的高线，求梯形的高线AHABCHDFE析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形来求解，添加辅助线一般有下列所示的几种情况：平移一腰作两高平移一对角线过梯形一腰中点和上底一端作直线延长两腰例例3：如图，在梯形：如图，在梯形ABCD中，中，AB∥∥CD，中位线，中位线EF=7cm，，对角线对角线AC⊥⊥BD，，∠∠BDC=30°，求梯形的高线，求梯形的高线AHABCHDFEM解：过A作AM∥BD，交CD的延长线于M又∵AB∥CD∴四边形ABDM是平行四边形，∴DM=AB，∠AMC= ∠BDC=30°又∵中位线EF=7cm，∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又∵AC⊥BD，∴AC⊥AM，∵AH⊥CD，∠ACD=60°∴AC= CM=7cm12∴AH=AC·sin60°= √3(cm)72注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。

②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长ABCDFEOD解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线 ，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm254解得x= ∴AF=FC= ,FD=8 – x=25474答：折痕的长为7.5cm则FD=AD – AF=8 - x∵在Rt△CDF中，FC = FD + CD222∴ x = （8 - x）+ 6222H在Rt△FEH中， EF = FH + EH222∴EF =6 + （ - ） 22225474∴EF=±7.5(负根舍去）作FH⊥BC于H例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长ABCDFEOFOCDAOAD=FO658=FO=154FE=152解法解法2。