用导数求函数的最值.ppt

函数的最大值与最小值高三数学选修（Ⅱ）第三章 导数与微分•函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值OxyY=f(x)abx1x2x3极小值极小值f(xf(x1 1) )极大值极大值f(xf(x2 2) )极小值极小值f(xf(x3 3) )最大值最大值f(b)f(b)最小值最小值f(xf(x3 3) )1.函数最值的概念§定义：可导函数 在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数 的最大（或最小）值§一般地，在闭区间上连续的函数 在[a,b]上必有最大值与最小值若改为 (a,b)?举例说明函数 在 (0,∞)内连续2.求可导 函数在[a,b]上最值的方法•例1：求函数 在区间[-2，2]上的最大值与最小值解：令有解得：当x变化时， ，y的变化情况如下表：x-2(-2,1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2-+0-0+y1345413从上表可看出，最大值是13，最小值是42.求可导 函数在[a,b]上最值的方法•例1：求函数 在区间[-2，2]上的最大 值与最小值。

图象【解题回顾】 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【对应练习】•求下列函在所给的区间上的最大值与最小值1）y=x-x3 x∈[0,2]（2）y=x3+x2 -x x∈[-2,1]【解题回顾】在求函数f(x)在[a,b]最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可几何画板几何画板例2：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如下图，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？ 【解题回顾】1.求最大（小）值应用问题的一般方法：分析、联系、抽象、转化分析、联系、抽象、转化数学方法数学方法数学结果数学结果实际结果实际结果回答问题回答问题实际问题实际问题 建立数学模型建立数学模型（列数学关系式）（列数学关系式）解决应用性问题的关键是读题解决应用性问题的关键是读题——懂题懂题——建立数学关系式。

建立数学关系式2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大(小)值这时所说的也适用于开区间或无穷区间【对应练习】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面径应样选取时，才能使所用的材料最省？§解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得h= ，则S(R)= 2πR▪ + 2πR2= +2πR2令S’(R)= +4πR=0 解得，R= 从而h= = = =2即h=2R因为只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 【反馈练习】1.函数 在[-3，4]上的最小值为（ ）A、-64 B、-51 C、-56 D、-612.函数 在上的最大值为（ ） A、2+2 B、4 C、 D、5 3．函数 在 时的最大、最小值分别是 。

4．教材P139 练习1、2(课后完成)DB【课堂小结】（1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定；（2）若连续函数在闭区间上只有一个导数为0的点，且在这一点有极值，则该极值就是函数在上的最值；（3）导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值，其关键是分清各量间的关系，建立目标函数，在判断函数极值的基础一就可以确定出函数的最值情况。